6. 质量为m的质点,原来静止,在一变力作用下运动,大小随时间变化的关.系为-|||-=(F)_(0)[ 1-(t-T)] TT] , 其中F0、T为恒量,求经过2T时间后质点的速度。

考查要点：本题主要考查变力作用下动量定理的应用，需要将变力的冲量转化为时间的积分来计算。

解题核心思路：

1. 明确动量定理：变力的冲量等于动量的变化，即 $\int F(t) \, dt = mv - 0$（初速度为0）。
2. 简化力的表达式：将题目中的力表达式展开，转化为关于时间 $t$ 的线性函数，便于积分。
3. 分步积分：对简化后的力函数分项积分，计算总冲量，最终求出速度。

破题关键点：

• 正确展开力的表达式：将 $F(t) = F_0 \left[ 1 - \frac{t-T}{T} \right]$ 化简为 $F(t) = F_0 \left( 2 - \frac{t}{T} \right)$。
• 分项积分：将积分拆分为常数项和线性项分别计算，避免计算错误。

步骤1：展开力的表达式

原力表达式为：
$F(t) = F_0 \left[ 1 - \frac{t-T}{T} \right] = F_0 \left( 2 - \frac{t}{T} \right)$

步骤2：应用动量定理

总冲量为：
$\int_{0}^{2T} F(t) \, dt = \int_{0}^{2T} F_0 \left( 2 - \frac{t}{T} \right) dt$

步骤3：分项积分

1. 常数项积分：
   $\int_{0}^{2T} 2F_0 \, dt = 2F_0 \cdot (2T - 0) = 4F_0 T$

2. 线性项积分：
   $\int_{0}^{2T} \frac{F_0}{T} t \, dt = \frac{F_0}{T} \cdot \frac{t^2}{2} \Big|_{0}^{2T} = \frac{F_0}{T} \cdot \frac{(2T)^2}{2} = 2F_0 T$

步骤4：计算总冲量

总冲量为两部分之差：
$\text{总冲量} = 4F_0 T - 2F_0 T = 2F_0 T$

步骤5：求速度

根据动量定理 $\text{总冲量} = mv$，得：
$v = \frac{2F_0 T}{m}$