23.求函数y=e^xcos x的n阶导数.

设 $ y = e^x \cos x $，则 $ y = \text{Re}(e^{(1+i)x}) $。 对 $ e^{(1+i)x} $ 求 $ n $ 阶导数得： \[ \frac{d^n}{dx^n} e^{(1+i)x} = (1+i)^n e^{(1+i)x} \] 将 $ 1+i $ 写为极坐标形式： \[ 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \] 由德莫弗定理： \[ (1+i)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) \] 取实部得： \[ y^{(n)} = 2^{n/2} e^x \cos \left( x + \frac{n\pi}{4} \right) \] **答案：** \[ \boxed{2^{n/2} e^x \cos \left( x + \frac{n\pi}{4} \right)} \]