题目
九、用正交变换化二次型f(x_(1),x_(2),x_(3))=-2x_(1)x_(2)+2x_(1)x_(3)+2x_(2)x_(3)为标准型，写出所用正交变换，并判断该二次型是否为正定的.
九、用正交变换化二次型
$f(x_{1},x_{2},x_{3})=-2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$
为标准型，写出所用正交变换，并判断该二次型是否为正定的.
题目解答
答案
1. **求特征值**：
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，解得 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -2$。
2. **求特征向量**：
对于 $\lambda = 1$，特征向量为 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$；
对于 $\lambda = -2$，特征向量为 $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
3. **正交化单位化**：
正交化后单位化得到正交矩阵 $P$。
4. **标准型**：
标准型为 $y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2$。
5. **正定性**：
存在负特征值，故二次型非正定。
**答案**：
标准型：$\boxed{y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2}$
正交变换：$\boxed{\mathbf{x} = P \mathbf{y}}$，其中 $P$ 为正交矩阵
非正定。
解析
步骤 1：求二次型的矩阵
二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=-2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$ 可以表示为矩阵形式 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，$A$ 是对称矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -2$。对于 $\lambda = 1$，特征向量为 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$；对于 $\lambda = -2$，特征向量为 $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
步骤 3：正交化单位化特征向量
将特征向量正交化并单位化，得到正交矩阵 $P$。正交矩阵 $P$ 的列向量为单位化的特征向量。
步骤 4：标准型
通过正交变换 $\mathbf{x} = P \mathbf{y}$，将二次型化为标准型。标准型为 $y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2$。
步骤 5：正定性
由于存在负特征值，故二次型非正定。
二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=-2x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$ 可以表示为矩阵形式 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，$A$ 是对称矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量
特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，解得特征值 $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -2$。对于 $\lambda = 1$，特征向量为 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$；对于 $\lambda = -2$，特征向量为 $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。
步骤 3：正交化单位化特征向量
将特征向量正交化并单位化，得到正交矩阵 $P$。正交矩阵 $P$ 的列向量为单位化的特征向量。
步骤 4：标准型
通过正交变换 $\mathbf{x} = P \mathbf{y}$，将二次型化为标准型。标准型为 $y_1^2 + y_2^2 - 2y_3^2$。
步骤 5：正定性
由于存在负特征值，故二次型非正定。