题目

4.[填空题]三阶行列式A的第二行元素依次为1,2,3,对应的代数余子式依次分别为1,2,3,则行列式A等于 (答案填写阿拉伯数字)

题目解答

答案

为了求解三阶行列式 $ A $ 的值，我们使用行列式按行展开的性质。根据题目，三阶行列式 $ A $ 的第二行元素依次为 $ 1, 2, 3 $，对应的代数余子式依次分别为 $ 1, 2, 3 $。行列式按第二行展开可以表示为： \[ A = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} \] 其中 $ a_{21}, a_{22}, a_{23} $ 是第二行的元素， $ C_{21}, C_{22}, C_{23} $ 是对应的代数余子式。代入题目给出的值，我们有： \[ A = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \] 计算上式，得到： \[ A = 1 + 4 + 9 = 14 \] 因此，行列式 $ A $ 的值是 $\boxed{14}$。

解析

考查要点：本题主要考查行列式按行展开的性质，即利用某一行的元素及其对应的代数余子式计算行列式的值。

解题核心思路：
根据行列式展开定理，行列式等于其任意一行元素与对应代数余子式的乘积之和。题目已给出第二行的元素和对应的代数余子式，直接代入公式即可求解。

破题关键点：

明确代数余子式的定义，无需额外计算余子式。
直接套用公式：$A = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$，代入已知数值计算。

根据行列式按行展开的性质，三阶行列式 $A$ 的第二行元素为 $1, 2, 3$，对应的代数余子式为 $1, 2, 3$。展开公式为：
$A = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$
将已知数值代入：
$A = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 1 + 4 + 9 = 14$