求函数f(x,y)=e^x(x+2y+y^2)的极值

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括求偏导找临界点和二阶导数检验法的应用。

解题核心思路：

1. 求一阶偏导数，联立方程求解临界点；
2. 计算二阶偏导数，构造判别式判断临界点的性质；
3. 根据判别式结果确定极值的存在性及类型。

破题关键点：

• 正确计算偏导数，注意乘积法则的应用；
• 解方程组时，利用指数函数的正性简化方程；
• 代入临界点计算二阶导数时，注意代数运算的准确性。

1. 求一阶偏导数并解方程组

函数：$f(x,y) = e^x(x + 2y + y^2)$

计算 $f_x$ 和 $f_y$

• 对 $x$ 求偏导：
  $f_x = e^x(x + 2y + y^2) + e^x \cdot 1 = e^x(x + 2y + y^2 + 1)$
• 对 $y$ 求偏导：
  $f_y = e^x(2 + 2y) = 2e^x(1 + y)$

解方程组 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$

1. 由 $f_y = 0$ 得：
   $2e^x(1 + y) = 0 \implies 1 + y = 0 \implies y = -1$
2. 代入 $f_x = 0$：
   $e^x(x + 2(-1) + (-1)^2 + 1) = 0 \implies e^x \cdot x = 0 \implies x = 0$
   临界点：$(0, -1)$

2. 计算二阶偏导数并判断极值

计算二阶偏导数

• $f_{xx}$：
  $f_{xx} = e^x(x + 2y + y^2 + 1) + e^x \cdot 1 = e^x(x + 2y + y^2 + 2)$
• $f_{xy}$：
  $f_{xy} = e^x(2 + 2y)$
• $f_{yy}$：
  $f_{yy} = 2e^x$

代入临界点 $(0, -1)$

• $f_{xx}(0, -1) = e^0(0 + 2(-1) + (-1)^2 + 2) = 1$
• $f_{xy}(0, -1) = e^0(2 + 2(-1)) = 0$
• $f_{yy}(0, -1) = 2e^0 = 2$

构造判别式

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 1 \cdot 2 - 0^2 = 2 > 0$
结论：$D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$，故 $(0, -1)$ 是极小值点。

计算极小值

$$
f(0, -1) = e^0(0 + 2(-1) + (-1)^2) = -1

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