题目
11.一家工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布,概率密度为-|||-f(x)= {e)^-dfrac (x{4)},xgt 0 0 .-|||-工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调-|||-换一台设备厂方需花费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算设备在一年内损坏的概率
根据题目中给出的指数分布的概率密度函数 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{4}{e}^{-\dfrac {x}{4}},\quad x\gt 0\\ 0,\quad x\leqslant 0.\end{matrix} \right.$ ，我们需要计算设备在一年内损坏的概率，即 $P(X \leq 1)$。这可以通过对概率密度函数从0到1进行积分来计算。
步骤 2：计算设备在一年内不损坏的概率
设备在一年内不损坏的概率为 $P(X > 1)$，这可以通过计算 $1 - P(X \leq 1)$ 来得到。
步骤 3：计算净赢利的数学期望
根据题目，如果设备在一年内损坏，工厂需要花费300元进行调换，但同时工厂售出一台设备赢利100元。因此，如果设备在一年内损坏，工厂的净赢利为 $100 - 300 = -200$ 元。如果设备在一年内不损坏，工厂的净赢利为100元。因此，净赢利的数学期望可以通过计算 $E(Y) = 100 \cdot P(X > 1) - 200 \cdot P(X \leq 1)$ 来得到。
根据题目中给出的指数分布的概率密度函数 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{4}{e}^{-\dfrac {x}{4}},\quad x\gt 0\\ 0,\quad x\leqslant 0.\end{matrix} \right.$ ，我们需要计算设备在一年内损坏的概率，即 $P(X \leq 1)$。这可以通过对概率密度函数从0到1进行积分来计算。
步骤 2：计算设备在一年内不损坏的概率
设备在一年内不损坏的概率为 $P(X > 1)$，这可以通过计算 $1 - P(X \leq 1)$ 来得到。
步骤 3：计算净赢利的数学期望
根据题目，如果设备在一年内损坏，工厂需要花费300元进行调换，但同时工厂售出一台设备赢利100元。因此，如果设备在一年内损坏，工厂的净赢利为 $100 - 300 = -200$ 元。如果设备在一年内不损坏，工厂的净赢利为100元。因此，净赢利的数学期望可以通过计算 $E(Y) = 100 \cdot P(X > 1) - 200 \cdot P(X \leq 1)$ 来得到。