设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = } A sin x, & 0 leq x leq pi 0, & (其他) 。

(1) 由概率密度函数性质，$\int_{0}^{\pi} A \sin x \, dx = 1$，解得 $A = \frac{1}{2}$。
(2) 分布函数 $F(x)$：

• 当 $x < 0$ 时，$F(x) = 0$；
• 当 $0 \leq x \leq \pi$ 时，$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{2} \sin t \, dt = \frac{1 - \cos x}{2}$；
• 当 $x > \pi$ 时，$F(x) = 1$。
  故 $F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1 - \cos x}{2}, & 0 \leq x \leq \pi \\ 1, & x > \pi \end{cases}$。
  (3) 概率 $P\left\{\frac{\pi}{2} \le X \le \frac{3\pi}{4}\right\} = F\left(\frac{3\pi}{4}\right) - F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。

答案：
(1) $A = \boxed{\frac{1}{2}}$
(2) $F(x) = \boxed{\begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1 - \cos x}{2}, & 0 \leq x \leq \pi \\ 1, & x > \pi \end{cases}}$
(3) $P\left\{\frac{\pi}{2} \le X \le \frac{3\pi}{4}\right\} = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{4}}$