题目
二、判断题（共15小题，共15分）13.向量overrightarrow(a)=(4,-3,4)在向量overrightarrow(b)=(2,2,1)的方向上的投影为4。（分数：1分）正确 错误
二、判断题（共15小题，共15分）
13.向量$\overrightarrow{a}=(4,-3,4)$在向量$\overrightarrow{b}=(2,2,1)$的方向上的投影为4。
（分数：1分）
正确 错误
题目解答
答案
向量 $\overrightarrow{a} = (4, -3, 4)$ 在向量 $\overrightarrow{b} = (2, 2, 1)$ 上的投影计算如下：
1. **点积**：
\[
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \times 2 + (-3) \times 2 + 4 \times 1 = 6
\]
2. **模长**：
\[
$\overrightarrow{b}$ = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3
\]
3. **投影**：
\[
\text{投影} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{$\overrightarrow{b}$} = \frac{6}{3} = 2
\]
**答案**：错误
解析
考查要点：本题主要考查向量在另一向量方向上的标量投影的计算方法。
解题核心思路：
- 标量投影的公式为：$\text{投影} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，其中$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$是向量的点积，$|\overrightarrow{b}|$是向量$\overrightarrow{b}$的模长。
- 关键步骤包括计算点积、向量模长，最后代入公式求解。
破题关键点：
- 正确计算点积：注意分量相乘后的符号。
- 准确计算模长：平方后相加再开根号。
- 区分标量投影与向量投影：本题明确要求投影为数值，因此只需计算标量投影。
-
计算向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的点积：
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \times 2 + (-3) \times 2 + 4 \times 1 = 8 - 6 + 4 = 6$ -
计算向量$\overrightarrow{b}$的模长：
$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ -
代入标量投影公式：
$\text{投影} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{6}{3} = 2$
结论：题目中给出的投影值为4，实际计算结果为2，因此原题说法错误。