题目
一质量为10kg的质点在力 F=(120t+40)N 作用下沿X轴做直线运动。在 t=0 时,质点位于 _(0)=5.0m 处,-|||-其速度 _(0)=6.0mcdot (s)^-1 。求质点在任意时刻的速度和位置。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质点的加速度
根据牛顿第二定律，$F = ma$，其中 $F$ 是作用在质点上的力，$m$ 是质点的质量，$a$ 是质点的加速度。因此，加速度 $a$ 可以表示为 $a = \frac{F}{m}$。将给定的力 $F = (120t + 40)N$ 和质量 $m = 10kg$ 代入，得到 $a = \frac{120t + 40}{10} = 12t + 4$。
步骤 2：计算任意时刻的速度
速度 $v$ 是加速度 $a$ 对时间 $t$ 的积分。因此，$v = v_0 + \int a dt$，其中 $v_0$ 是初始速度。将 $a = 12t + 4$ 代入，得到 $v = v_0 + \int (12t + 4) dt = v_0 + (6t^2 + 4t) + C$。由于在 $t = 0$ 时，$v = v_0 = 6m/s$，所以 $C = 0$。因此，$v = 6 + 6t^2 + 4t$。
步骤 3：计算任意时刻的位置
位置 $x$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的积分。因此，$x = x_0 + \int v dt$，其中 $x_0$ 是初始位置。将 $v = 6 + 6t^2 + 4t$ 代入，得到 $x = x_0 + \int (6 + 6t^2 + 4t) dt = x_0 + (6t + 2t^3 + 2t^2) + C$。由于在 $t = 0$ 时，$x = x_0 = 5m$，所以 $C = 0$。因此，$x = 5 + 6t + 2t^3 + 2t^2$。
根据牛顿第二定律，$F = ma$，其中 $F$ 是作用在质点上的力，$m$ 是质点的质量，$a$ 是质点的加速度。因此，加速度 $a$ 可以表示为 $a = \frac{F}{m}$。将给定的力 $F = (120t + 40)N$ 和质量 $m = 10kg$ 代入，得到 $a = \frac{120t + 40}{10} = 12t + 4$。
步骤 2：计算任意时刻的速度
速度 $v$ 是加速度 $a$ 对时间 $t$ 的积分。因此，$v = v_0 + \int a dt$，其中 $v_0$ 是初始速度。将 $a = 12t + 4$ 代入，得到 $v = v_0 + \int (12t + 4) dt = v_0 + (6t^2 + 4t) + C$。由于在 $t = 0$ 时，$v = v_0 = 6m/s$，所以 $C = 0$。因此，$v = 6 + 6t^2 + 4t$。
步骤 3：计算任意时刻的位置
位置 $x$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的积分。因此，$x = x_0 + \int v dt$，其中 $x_0$ 是初始位置。将 $v = 6 + 6t^2 + 4t$ 代入，得到 $x = x_0 + \int (6 + 6t^2 + 4t) dt = x_0 + (6t + 2t^3 + 2t^2) + C$。由于在 $t = 0$ 时，$x = x_0 = 5m$，所以 $C = 0$。因此，$x = 5 + 6t + 2t^3 + 2t^2$。