若要计算 int int_(D) (sin x)/(x) dx dy，其中 D 是由 x=y 和 x^2=y 所围成的闭区域, 你采取哪种积分次序更简便? (). A 先对x后对y的积分次序 B 先对y后对x的积分次序 C 同样简便 D 两种积分次序都做不出来

为了确定计算二重积分 $\iint\limits_{D}\frac{\sin x}{x}dxdy$ 的最简便积分次序，其中 $D$ 是由 $x = y$ 和 $x^2 = y^2$ 所围成的闭区域，我们首先需要理解区域 $D$。 方程 $x^2 = y^2$ 可以重写为 $x = y$ 或 $x = -y$。因此，区域 $D$ 是由直线 $x = y$ 和 $x = -y$ 所围成的。这个区域关于y轴对称，可以描述为 $-x \leq y \leq x$ 对于 $x \geq 0$，或者 $x \leq y \leq -x$ 对于 $x \leq 0$。 让我们考虑两种积分次序： 1. **先对 $y$ 后对 $x$ 的积分次序：** 区域 $D$ 可以描述为 $-x \leq y \leq x$ 对于 $0 \leq x \leq a$（其中 $a$ 是某个正数，但因为函数是连续的，且积分在任何有限区域上都是有限的，我们可以考虑整个区域）。积分变为： \[ \int_{0}^{a} \int_{-x}^{x} \frac{\sin x}{x} \, dy \, dx \] 首先，我们对 $y$ 进行积分： \[ \int_{-x}^{x} \frac{\sin x}{x} \, dy = \frac{\sin x}{x} \left[ y \right]_{-x}^{x} = \frac{\sin x}{x} (x - (-x)) = \frac{\sin x}{x} \cdot 2x = 2 \sin x \] 现在，我们对 $x$ 进行积分： \[ \int_{0}^{a} 2 \sin x \, dx = 2 \left[ -\cos x \right]_{0}^{a} = 2 (-\cos a + \cos 0) = 2 (1 - \cos a) \] 当 $a \to \infty$ 时，积分收敛，但我们可以看到，关于 $x$ 的积分是直接的。 2. **先对 $x$ 后对 $y$ 的积分次序：** 区域 $D$ 可以描述为 $y \leq x \leq -y$ 对于 $-a \leq y \leq a$。积分变为： \[ \int_{-a}^{a} \int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx \, dy \] 首先，我们对 $x$ 进行积分： \[ \int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx \] 函数 $\frac{\sin x}{x}$ 是一个偶函数，因此从 $y$ 到 $-y$ 的积分是： \[ \int_{y}^{-y} \frac{\sin x}{x} \, dx = -\int_{-y}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx = -2 \int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx \] 现在，我们对 $y$ 进行积分： \[ \int_{-a}^{a} -2 \int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx \, dy \] 这个积分更复杂，因为 $\int_{0}^{y} \frac{\sin x}{x} \, dx$ 没有初等原函数。 因此，先对 $y$ 后对 $x$ 的积分次序更简便。 答案是 $\boxed{B}$。