题目

1.6 设A、B、C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=(1)/(4)，P(AC)=(1)/(8)，P(AB)=P(BC)=0，求A、B、C中至少有一个发生的概率.

1.6 设A、B、C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=$\frac{1}{4}$，$P(AC)=\frac{1}{8}$，P(AB)=P(BC)=0，求A、B、C中至少有一个发生的概率.

题目解答

答案

根据题意，已知 $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}$，$P(AB) = P(BC) = 0$，$P(AC) = \frac{1}{8}$。要求 $A、B、C$ 中至少有一个发生的概率，即 $P(A \cup B \cup C)$。 由概率的加法公式： \[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(CA) + P(ABC) \] 由于 $P(AB) = P(BC) = 0$，且 $P(ABC) \leq P(AB) = 0$，故 $P(ABC) = 0$。 将已知值代入公式： \[ P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0 - 0 - \frac{1}{8} + 0 = \frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \] 因此，$A、B、C$ 中至少有一个发生的概率为 $\frac{5}{8}$。 答案：$\frac{5}{8}$

解析

考查要点：本题主要考查三个事件并集的概率计算，涉及概率加法公式的应用，以及事件独立性的理解。

解题核心思路：

  1. 利用加法公式展开：三个事件并集的概率公式为
    $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).$
  2. 简化公式：根据题目条件，$P(AB) = P(BC) = 0$，且$P(ABC) = 0$（因$AB$为不可能事件），公式可简化为
    $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AC).$
  3. 代入已知数值：直接计算即可。

破题关键点：

  • 识别事件间的独立性：$AB$和$BC$为不可能事件，说明$A$与$B$、$B$与$C$互斥。
  • 处理交集概率：$P(AC)$已知，而$P(ABC) = 0$需通过逻辑推理得出。

根据概率加法公式，三个事件并集的概率为：
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).$

步骤1：代入已知条件

  • $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}$，
  • $P(AB) = P(BC) = 0$，
  • $P(AC) = \frac{1}{8}$，
  • $P(ABC) = 0$（因$AB$为不可能事件，故$ABC \subseteq AB$，概率为0）。

步骤2：简化公式
将已知值代入公式：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0 - 0 - \frac{1}{8} + 0 \\&= \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \\&= \frac{6}{8} - \frac{1}{8} \\&= \frac{5}{8}.\end{aligned}$