1.下列极限中正确的是 () .-|||-A. lim _(xarrow 0)xsin dfrac (1)(x)=1 B. lim _(xarrow infty )xsin dfrac (1)(x)=1-|||-C. lim xsin x=1 D. lim _(xarrow infty )dfrac (sin x)(x)=1

本题考查极限的计算，特别是涉及三角函数与无穷量的乘积的极限问题。解题核心在于：

1. 识别不同变量趋近方向（如$x \to 0$与$x \to \infty$）对极限的影响；
2. 利用等价无穷小替换或夹逼定理简化计算；
3. 判断振荡项的存在性（如$\sin x$在$x \to \infty$时无极限）。

关键点：

• 选项B中$x \to \infty$时，$\sin \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$，可转化为$\lim x \cdot \frac{1}{x} = 1$；
• 选项D中$\frac{\sin x}{x}$的绝对值不超过$\frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时极限为$0$。

选项A：$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x}$

• 分析：当$x \to 0$时，$\sin \frac{1}{x}$在$[-1,1]$间振荡，但$x \to 0$。
• 结论：由夹逼定理，$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$，故极限为$0$，选项A错误。

选项B：$\lim _{x\rightarrow \infty }x\sin \dfrac {1}{x}$

• 分析：令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to \infty$时，$t \to 0$，原式变为$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。
• 结论：极限为$1$，选项B正确。

选项C：$\lim _{x\rightarrow \infty }x\sin x$

• 分析：$\sin x$在$[-1,1]$间振荡，而$x \to \infty$，故$x \sin x$在$(-\infty, +\infty)$间无界振荡。
• 结论：极限不存在，选项C错误。

选项D：$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\sin x}{x}$

• 分析：由夹逼定理，$\left|\frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{x} \to 0$。
• 结论：极限为$0$，选项D错误。