设(x)=dfrac ({x)^2}(x-a)(int )_(a)^xf(t)dt, 其中f(x)设(x)=dfrac ({x)^2}(x-a)(int )_(a)^xf(t)dt, 其中f(x)

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及积分中值定理和洛必达法则的应用，同时需要理解连续函数在积分中的性质。

解题核心思路：
当$x \to a$时，分子中的积分$\int_{a}^{x}f(t)dt$和分母$x-a$均趋近于0，形成$\frac{0}{0}$型不定式。可通过以下两种方法解决：

1. 积分中值定理：将积分转化为$f(\xi)(x-a)$，其中$\xi$介于$a$与$x$之间，进而简化极限计算。
2. 洛必达法则：对分子和分母分别求导，消去不定式形式。

破题关键点：

• 连续函数的积分性质：利用积分中值定理或微积分基本定理，将积分表达式转化为与$f(a)$相关的形式。
• 极限化简：通过消去$(x-a)$项或求导，将复杂表达式简化为直接代入$x=a$的形式。

方法1：积分中值定理

1. 应用积分中值定理：
   由于$f(x)$连续，存在$\xi \in (a, x)$，使得
   $\int_{a}^{x}f(t)dt = f(\xi)(x-a).$
2. 代入原式并化简：
   $F(x) = \frac{x^2 \cdot f(\xi)(x-a)}{x-a} = x^2 f(\xi).$
3. 取极限：
   当$x \to a$时，$\xi \to a$，故
   $\lim_{x \to a} F(x) = a^2 f(a).$

方法2：洛必达法则

1. 识别不定式形式：
   分子$\int_{a}^{x}f(t)dt \to 0$，分母$x-a \to 0$，满足$\frac{0}{0}$型。
2. 对分子和分母求导：
   • 分子导数：
     $\frac{d}{dx}\left[x^2 \int_{a}^{x}f(t)dt\right] = 2x \int_{a}^{x}f(t)dt + x^2 f(x).$
   • 分母导数：$\frac{d}{dx}(x-a) = 1$.
3. 代入洛必达法则：
   $\lim_{x \to a} F(x) = \lim_{x \to a} \left[2x \int_{a}^{x}f(t)dt + x^2 f(x)\right].$
4. 化简极限：
   当$x \to a$时，$\int_{a}^{x}f(t)dt \to 0$，故第一项为0，最终得
   $\lim_{x \to a} F(x) = a^2 f(a).$

方法3：排除法（特殊值验证）

取$f(x) = 2$（连续函数），代入计算：
$\lim_{x \to a} \frac{x^2}{x-a} \int_{a}^{x} 2 dt = \lim_{x \to a} \frac{x^2 \cdot 2(x-a)}{x-a} = \lim_{x \to a} 2x^2 = 2a^2.$
此时选项B为$a^2 f(a) = a^2 \cdot 2 = 2a^2$，与计算结果一致，排除其他选项。