题目
设(x)=dfrac ({x)^2}(x-a)(int )_(a)^xf(t)dt, 其中f(x)设(x)=dfrac ({x)^2}(x-a)(int )_(a)^xf(t)dt, 其中f(x)
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：确定极限形式
首先，我们观察给定的函数$F(x)=\dfrac {{x}^{2}}{x-a}{\int }_{a}^{x}f(t)dt$，并注意到我们需要计算$\lim _{x\rightarrow a}F(x)$。由于$x\rightarrow a$时，分母$x-a$趋于0，而分子${x}^{2}{\int }_{a}^{x}f(t)dt$也趋于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型的极限问题，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
根据洛必达法则，对于$\frac{0}{0}$型的极限，我们可以通过对分子和分母分别求导来简化问题。因此，我们对$F(x)$的分子和分母分别求导：
- 分子的导数为：$\dfrac{d}{dx}({x}^{2}{\int }_{a}^{x}f(t)dt) = 2x{\int }_{a}^{x}f(t)dt + {x}^{2}f(x)$
- 分母的导数为：$\dfrac{d}{dx}(x-a) = 1$
步骤 3：计算极限
将分子和分母的导数代入洛必达法则，我们得到：
$\lim _{x\rightarrow a}F(x) = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac{2x{\int }_{a}^{x}f(t)dt + {x}^{2}f(x)}{1} = \lim _{x\rightarrow a}(2x{\int }_{a}^{x}f(t)dt + {x}^{2}f(x))$
由于$f(x)$在$a$处连续，我们可以将$x\rightarrow a$代入上式，得到：
$\lim _{x\rightarrow a}F(x) = 2a{\int }_{a}^{a}f(t)dt + {a}^{2}f(a) = 0 + {a}^{2}f(a) = {a}^{2}f(a)$
首先，我们观察给定的函数$F(x)=\dfrac {{x}^{2}}{x-a}{\int }_{a}^{x}f(t)dt$，并注意到我们需要计算$\lim _{x\rightarrow a}F(x)$。由于$x\rightarrow a$时，分母$x-a$趋于0，而分子${x}^{2}{\int }_{a}^{x}f(t)dt$也趋于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型的极限问题，可以使用洛必达法则来解决。
步骤 2：应用洛必达法则
根据洛必达法则，对于$\frac{0}{0}$型的极限，我们可以通过对分子和分母分别求导来简化问题。因此，我们对$F(x)$的分子和分母分别求导：
- 分子的导数为：$\dfrac{d}{dx}({x}^{2}{\int }_{a}^{x}f(t)dt) = 2x{\int }_{a}^{x}f(t)dt + {x}^{2}f(x)$
- 分母的导数为：$\dfrac{d}{dx}(x-a) = 1$
步骤 3：计算极限
将分子和分母的导数代入洛必达法则，我们得到：
$\lim _{x\rightarrow a}F(x) = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac{2x{\int }_{a}^{x}f(t)dt + {x}^{2}f(x)}{1} = \lim _{x\rightarrow a}(2x{\int }_{a}^{x}f(t)dt + {x}^{2}f(x))$
由于$f(x)$在$a$处连续，我们可以将$x\rightarrow a$代入上式，得到：
$\lim _{x\rightarrow a}F(x) = 2a{\int }_{a}^{a}f(t)dt + {a}^{2}f(a) = 0 + {a}^{2}f(a) = {a}^{2}f(a)$