已知函数f（x）=ax-(1)/(x)-（a+1）lnx.（1）当a=0时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．

考查要点：本题主要考查利用导数研究函数的极值及零点问题，涉及函数单调性分析、极值点判断以及分类讨论思想。

解题思路：

1. 第一问：当$a=0$时，函数简化为$f(x) = -\frac{1}{x} - \ln x$，通过求导确定单调性，找到极大值点，进而求最大值。
2. 第二问：对参数$a$进行分类讨论，分析函数$f(x)$的导数$f'(x)$的符号变化，确定函数的单调区间和极值点，结合极值点的函数值符号及函数在无穷远处的趋势，判断零点个数。

破题关键：

• 导数分解：将$f'(x)$分解为$\frac{(x-1)(ax-1)}{x^2}$，明确临界点$x=1$和$x=\frac{1}{a}$的位置关系。
• 极值点分析：通过极值点的函数值符号及函数趋势，判断是否存在零点。

第（1）题

当$a=0$时，$f(x) = -\frac{1}{x} - \ln x$，定义域为$x > 0$。

求导并分析单调性

$f'(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{1 - x}{x^2}$

• 当$0 < x < 1$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；
• 当$x > 1$时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。

极值点与最大值

函数在$x=1$处取得极大值，即最大值：
$f(1) = -1 - \ln 1 = -1$

第（2）题

求导并分解：
$f'(x) = a + \frac{1}{x^2} - \frac{a+1}{x} = \frac{(x-1)(ax-1)}{x^2}$

情况分类讨论

① 当$a = 0$时

由第（1）题可知，$f(x)$在$x=1$处取得最大值$-1$，无零点。

② 当$a < 0$时

• 临界点$x=1$，$x=\frac{1}{a}$（舍去，因$\frac{1}{a} < 0$）。
• 函数在$(0,1)$递增，在$(1,+\infty)$递减，且$f(1) = a - 1 < 0$，无零点。

③ 当$0 < a < 1$时

• 临界点$x=1$和$x=\frac{1}{a}$（$\frac{1}{a} > 1$）。
• 函数在$(0,1)$递增，在$(1,\frac{1}{a})$递减，在$(\frac{1}{a},+\infty)$递增。
• 极值点$f(1) = a - 1 < 0$，$f(\frac{1}{a}) < 0$，但当$x \to +\infty$时$f(x) \to +\infty$，故存在唯一零点。

④ 当$a = 1$时

• $f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2} \geq 0$，函数在$(0,+\infty)$单调递增。
• $f(1) = 0$，故唯一零点为$x=1$。

⑤ 当$a > 1$时

• 临界点$x=\frac{1}{a}$和$x=1$（$\frac{1}{a} < 1$）。
• 函数在$(0,\frac{1}{a})$递增，在$(\frac{1}{a},1)$递减，在$(1,+\infty)$递增。
• $f(1) = a - 1 > 0$，当$x \to 0^+$时$f(x) \to +\infty$，故存在唯一零点。

结论：当$a > 0$时，$f(x)$恰有一个零点。