题目

设函数f(x)在[a,b]上可导,lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt b,则下列命题不成立的是( ).A.至少存在一点lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt b,使得lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt bB.至少存在一点lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt b,使得lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt bC.至少存在一点lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt b,使得lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt bD.至少存在一点lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt b,使得lt (x)_(1)lt (x)_(2) lt b

设函数f(x)在[a,b]上可导, $a<x_1<x_2<b$ ,则下列命题不成立的是( ).

A.至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ ,使得 $f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$

B.至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ ,使得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$

C.至少存在一点 $\xi\in(x_1,x_2)$ ,使得 $f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$

D.至少存在一点 $\xi\in(x_1,x_2)$ ,使得 $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$

题目解答

答案

解：根据拉格朗日中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。选项C中的等式 $f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$ 是错误的，因为这会导致 $f'(\xi)=-1$ ，这与拉格朗日中值定理的结论不符。正确的等式应该是 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 。

解析

本题考查拉格朗日中值定理的应用，关键在于理解定理中区间范围和结论形式。定理指出：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续且可导，则存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。需注意：

区间范围：定理中的$\xi$必须属于原区间$(a,b)$，而非任意子区间；
等式形式：必须满足$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，符号不可随意改变。

选项C错误地将$\xi$限制在子区间$(x_1,x_2)$，且等式形式与定理不符。

选项分析

选项A

存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$。

分析：等式可变形为$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，与定理一致，正确。

选项B

存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$。

分析：在子区间$[x_1,x_2]$上应用定理，$\xi \in (x_1,x_2) \subset (a,b)$，正确。

选项C

存在$\xi \in (x_1,x_2)$，使得$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$。

分析：等式等价于$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，但$\xi$必须属于原区间$(a,b)$，而非子区间$(x_1,x_2)$。若$\xi$在$(a,x_1)$或$(x_2,b)$，则不满足，错误。

选项D

存在$\xi \in (x_1,x_2)$，使得$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$。

分析：在$[x_1,x_2]$上直接应用定理，$\xi \in (x_1,x_2)$，正确。