2.设 (xy,x+y)=(x)^2+(y)^2+xy (其中, =xy =x+y), 则 dfrac (partial f)(partial u)+dfrac (partial f)(partial v)= __ 。。-|||-A. 2(x+y) B. (x+y)-|||-C. 2(x+y)-1 D. 1-2(x+y)-|||-山-|||-正确

考查要点：本题主要考查复合函数的偏导数计算，以及变量替换的应用。关键在于将原式中的$x$和$y$用中间变量$u=xy$和$v=x+y$表示，从而将函数$f$转化为仅关于$u$和$v$的形式，再直接求偏导。

解题核心思路：

1. 变量替换：利用已知条件$u=xy$和$v=x+y$，将原式$x^2 + y^2 + xy$转化为仅含$u$和$v$的表达式。
2. 化简函数：通过代数变形，将$x^2 + y^2$表示为$v^2 - 2u$，从而得到$f(u, v) = v^2 - u$。
3. 求偏导数：对$f(u, v)$分别求$\dfrac{\partial f}{\partial u}$和$\dfrac{\partial f}{\partial v}$，再求和。

破题关键点：

• 识别$x^2 + y^2$与$v^2$的关系：利用$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，推导出$x^2 + y^2 = v^2 - 2u$。
• 正确化简表达式：将原式转化为仅含$u$和$v$的形式，避免直接对$x$和$y$求导。

步骤1：将原式转化为$u$和$v$的表达式
已知$f(xy, x+y) = x^2 + y^2 + xy$，令$u = xy$，$v = x + y$。
根据代数恒等式：
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = v^2 - 2u$
因此，原式可化简为：
$x^2 + y^2 + xy = (v^2 - 2u) + u = v^2 - u$
即函数$f$的表达式为：
$f(u, v) = v^2 - u$

步骤2：求偏导数
对$f(u, v) = v^2 - u$分别求偏导：

1. 对$u$的偏导：
   $\dfrac{\partial f}{\partial u} = \dfrac{\partial}{\partial u}(v^2 - u) = -1$
2. 对$v$的偏导：
   $\dfrac{\partial f}{\partial v} = \dfrac{\partial}{\partial v}(v^2 - u) = 2v$

步骤3：求和
将两个偏导数相加：
$\dfrac{\partial f}{\partial u} + \dfrac{\partial f}{\partial v} = -1 + 2v$
由于$v = x + y$，代入得：
$-1 + 2(x + y) = 2(x + y) - 1$