题目
有3个盒子, 第一个盒子装有1个白球, 4个黑球；第二个盒子装有2个白球，3个黑球；第三个盒子装有3个白球，2个黑球。现任取一个盒子，从中任取3个球，以X表示所取到的白球数。(1)试求X的概率分布列。(2)取到的白球数不少于2个的概率是多少。
有3个盒子, 第一个盒子装有1个白球, 4个黑球；第二个盒子装有2个白球，3个黑球；第三个盒子装有3个白球，2个黑球。现任取一个盒子，从中任取3个球，以X表示所取到的白球数。
(1)试求X的概率分布列。
(2)取到的白球数不少于2个的概率是多少。
题目解答
答案
(1)由题意得，X的可能取值为0,1,2,3，
所以$$P(X=0)={1\over3} \times {C_4^3\over C_5^3}+{1\over3} \times {C_3^3\over C_5^3} $$$$={5\over 30} ={1\over 6} $$；
$$P(X=1)={1\over3} \times {C_4^2\over C_5^3}+{1\over3} \times {C_2^1C_3^2\over C_5^3} +{1\over3} \times {C_3^1C_2^2\over C_5^3} $$$$={15\over 30} ={1\over 2} $$；
$$P(X=2)= {1\over3} \times {C_2^2C_3^1\over C_5^3} +{1\over3} \times {C_3^2C_2^1\over C_5^3} $$$$={9\over 30} ={3\over 10} $$；
$$P(X=3)= {1\over3} \times {C_3^3 \over C_5^3} $$$$={1\over 30} $$。
所以X的概率分布列为
(2)由(1)得，取到的白球数不少于2个的概率是$${3\over 10}+{1\over 30}= {10\over 30}={1\over3} $$。
解析
步骤 1：确定X的可能取值
X的可能取值为0,1,2,3，因为从每个盒子中取出3个球，最多可以取到3个白球。
步骤 2：计算P(X=0)
$$P(X=0)={1\over3} \times {C_4^3\over C_5^3}+{1\over3} \times {C_3^3\over C_5^3} $$$$={5\over 30} ={1\over 6} $$；
第一个盒子中取3个黑球的概率为$${C_4^3\over C_5^3}$$，第二个盒子中取3个黑球的概率为$${C_3^3\over C_5^3}$$，第三个盒子中取3个黑球的概率为0，因为第三个盒子中只有2个黑球。
步骤 3：计算P(X=1)
$$P(X=1)={1\over3} \times {C_4^2\over C_5^3}+{1\over3} \times {C_2^1C_3^2\over C_5^3} +{1\over3} \times {C_3^1C_2^2\over C_5^3} $$$$={15\over 30} ={1\over 2} $$；
第一个盒子中取2个黑球和1个白球的概率为$${C_4^2\over C_5^3}$$，第二个盒子中取1个白球和2个黑球的概率为$${C_2^1C_3^2\over C_5^3}$$，第三个盒子中取1个白球和2个黑球的概率为$${C_3^1C_2^2\over C_5^3}$$。
步骤 4：计算P(X=2)
$$P(X=2)= {1\over3} \times {C_2^2C_3^1\over C_5^3} +{1\over3} \times {C_3^2C_2^1\over C_5^3} $$$$={9\over 30} ={3\over 10} $$；
第一个盒子中取2个白球和1个黑球的概率为0，因为第一个盒子中只有1个白球，第二个盒子中取2个白球和1个黑球的概率为$${C_2^2C_3^1\over C_5^3}$$，第三个盒子中取2个白球和1个黑球的概率为$${C_3^2C_2^1\over C_5^3}$$。
步骤 5：计算P(X=3)
$$P(X=3)= {1\over3} \times {C_3^3 \over C_5^3} $$$$={1\over 30} $$。
第一个盒子中取3个白球的概率为0，因为第一个盒子中只有1个白球，第二个盒子中取3个白球的概率为0，因为第二个盒子中只有2个白球，第三个盒子中取3个白球的概率为$${C_3^3 \over C_5^3}$$。
步骤 6：计算取到的白球数不少于2个的概率
取到的白球数不少于2个的概率是$${3\over 10}+{1\over 30}= {10\over 30}={1\over3} $$。
X的可能取值为0,1,2,3，因为从每个盒子中取出3个球，最多可以取到3个白球。
步骤 2：计算P(X=0)
$$P(X=0)={1\over3} \times {C_4^3\over C_5^3}+{1\over3} \times {C_3^3\over C_5^3} $$$$={5\over 30} ={1\over 6} $$；
第一个盒子中取3个黑球的概率为$${C_4^3\over C_5^3}$$，第二个盒子中取3个黑球的概率为$${C_3^3\over C_5^3}$$，第三个盒子中取3个黑球的概率为0，因为第三个盒子中只有2个黑球。
步骤 3：计算P(X=1)
$$P(X=1)={1\over3} \times {C_4^2\over C_5^3}+{1\over3} \times {C_2^1C_3^2\over C_5^3} +{1\over3} \times {C_3^1C_2^2\over C_5^3} $$$$={15\over 30} ={1\over 2} $$；
第一个盒子中取2个黑球和1个白球的概率为$${C_4^2\over C_5^3}$$，第二个盒子中取1个白球和2个黑球的概率为$${C_2^1C_3^2\over C_5^3}$$，第三个盒子中取1个白球和2个黑球的概率为$${C_3^1C_2^2\over C_5^3}$$。
步骤 4：计算P(X=2)
$$P(X=2)= {1\over3} \times {C_2^2C_3^1\over C_5^3} +{1\over3} \times {C_3^2C_2^1\over C_5^3} $$$$={9\over 30} ={3\over 10} $$；
第一个盒子中取2个白球和1个黑球的概率为0，因为第一个盒子中只有1个白球，第二个盒子中取2个白球和1个黑球的概率为$${C_2^2C_3^1\over C_5^3}$$，第三个盒子中取2个白球和1个黑球的概率为$${C_3^2C_2^1\over C_5^3}$$。
步骤 5：计算P(X=3)
$$P(X=3)= {1\over3} \times {C_3^3 \over C_5^3} $$$$={1\over 30} $$。
第一个盒子中取3个白球的概率为0，因为第一个盒子中只有1个白球，第二个盒子中取3个白球的概率为0，因为第二个盒子中只有2个白球，第三个盒子中取3个白球的概率为$${C_3^3 \over C_5^3}$$。
步骤 6：计算取到的白球数不少于2个的概率
取到的白球数不少于2个的概率是$${3\over 10}+{1\over 30}= {10\over 30}={1\over3} $$。