设 A 为 n 阶矩阵，k 是常数，|A|=a，则 |kA^T A|=A. ka^2B. k^2aC. k^n a^2D. k^2 a^2

本题考查矩阵的转转置、数乘乘以及行列式的性质。解题思路是根据矩阵行列式的相关性质，逐步对$\vert kA^T A\vert$进行化简，最终得出结果。

1. 根据数乘矩阵的行列式性质化简$\vert kA^T A\vert$：
   对于$n$阶矩阵$M$和常数$k$，有$\vert kM\vert = k^n\vert M\vert$。
   在$\vert kA^T A\vert$中，令$M = A^T A$，则$\vert kA^T A\vert=k^n\vert A^T A\vert$。
2. 根据矩阵乘积的行列式性质化简$\vert A^T A\vert$：
   对于两个$n$阶矩阵$M$和$N$，有$\vert MN\vert=\vert M\vert\vert N\vert N\vert$。
   那么$\vert A^T A\vert=\vert A^T\vert\vert A\vert$。
3. 根据矩阵转置的行列式性质化简$\vert A^T\vert$：
   对于任意$n$阶矩阵$A$，有$\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
   已知$\vert A\vert = a$，所以$\vert A^T\vert = a$。
4. 计算最终计算结果：
   将$\vert A^T\vert = a$和$\vert A\vert = a$代入$\vert A^T A\vert=\vert A^T\vert\vert A\vert=a\times a = a^2$。
   再将$\vert A^T A\vert=a^2$代入$\vert kA^T A\vert=k^n\vert A^T A\vert$，可得$\vert kA^T A\vert=k^n\times a^2=k^n a^2$。