求曲线 y = -x^2 + 4 与直线 y = -2x + 4 所围成图形的面积.

本题考查利用定积分求两条曲线所围成图形的面积。解题思路如下：

1. 求交点：联立两条曲线的方程，求解出它们的交点坐标，从而确定积分区间。
2. 确定上下曲线：在积分区间内，判断哪条曲线在上方，哪条曲线在下方，以便确定被积函数。
3. 计算面积：根据定积分的几何意义，所求图形的面积等于上方曲线的函数值减去下方曲线的函数值在积分区间上的定积分。

下面进行详细的解答：

1. 求交点：
   联立曲线$y = -x^2 + 4$与直线$y = -2x + 4$的方程，可得$-x^2 + 4 = -2x + 4$。
   移项化为标准的一元二次方程形式：$-x^2 + 2x = 0$，提取公因式$-x$得到$-x(x - 2) = 0$。
   则$-x = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x = 0$或$x = 2$。
   将$x = 0$代入$y = -2x + 4$，得$y = 4$；将$x = 2$代入$y = -2x + 4$，得$y = 0$。
   所以交点为$(0, 4)$和$(2, 0)$，积分区间为$[0, 2]$。
2. 确定上下曲线：
   在区间$[0, 2]$内，任取一点$x_0$，例如$x_0 = 1$。
   对于曲线$y = -x^2 + 4$，当$x = 1$时，$y_1 = -1^2 + 4 = 3$。
   对于直线$y = -2x + 4$，当$x = 1$时，$y_2 = -2\times1 + 4 = 2$。
   因为$y_1 > y_2$，所以在区间$[0, 2]$内，曲线$y = -x^2 + 4$在直线$y = -2x + 4$上方。
3. 计算面积：
   根据定积分求面积公式$S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx$（其中$f(x)$为上方曲线，$g(x)$为下方曲线，$[a, b]$为积分区间），可得：
   $S = \int_{0}^{2} \left[(-x^2 + 4) - (-2x + 4)\right] \, dx$
   去括号得：$S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) \, dx$
   根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b} (u(x) + v(x)) \, dx = \int_{a}^{b} u(x) \, dx + \int_{a}^{b} v(x) \, dx$，可得：
   $S = \int_{0}^{2} -x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 2x \, dx$
   根据定积分基本公式$\int x^n \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$（$n\neq -1$），可得：
   $\int_{0}^{2} -x^2 \, dx = -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}=-\left(\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)=-\frac{8}{3}$
   $\int_{0}^{2} 2x \, dx = 2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}= 2\times\left(\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)= 4$
   所以$S = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$。