题目
12.设A为 times n 矩阵,若 lt n 则非齐次线性方-|||-程组 Ax=b 有无穷多解.() ()-|||-A 对-|||-B 错
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解非齐次线性方程组的解的性质
非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解的性质取决于系数矩阵 $A$ 的秩和增广矩阵 $[A|b]$ 的秩。如果 $A$ 的秩等于 $[A|b]$ 的秩，那么方程组有解。如果 $A$ 的秩小于 $n$（$n$ 是未知数的个数），则方程组有无穷多解。
步骤 2：分析矩阵的秩
对于 $m\times n$ 矩阵 $A$，如果 $m < n$，则 $A$ 的秩最多为 $m$。因此，$A$ 的秩小于 $n$。这意味着方程组 $Ax=b$ 的解空间的维度至少为 $n-m$，即有无穷多解。
步骤 3：考虑增广矩阵的秩
如果 $[A|b]$ 的秩也等于 $m$，则方程组 $Ax=b$ 有解。由于 $A$ 的秩小于 $n$，方程组有无穷多解。
非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解的性质取决于系数矩阵 $A$ 的秩和增广矩阵 $[A|b]$ 的秩。如果 $A$ 的秩等于 $[A|b]$ 的秩，那么方程组有解。如果 $A$ 的秩小于 $n$（$n$ 是未知数的个数），则方程组有无穷多解。
步骤 2：分析矩阵的秩
对于 $m\times n$ 矩阵 $A$，如果 $m < n$，则 $A$ 的秩最多为 $m$。因此，$A$ 的秩小于 $n$。这意味着方程组 $Ax=b$ 的解空间的维度至少为 $n-m$，即有无穷多解。
步骤 3：考虑增广矩阵的秩
如果 $[A|b]$ 的秩也等于 $m$，则方程组 $Ax=b$ 有解。由于 $A$ 的秩小于 $n$，方程组有无穷多解。