(3)设f(x)=int_(-1)^xsqrt[3](1+t)ln|1+t|dt,则f^prime(-1)=_cdot

考查要点：本题主要考查变上限积分求导法则的应用，以及函数在某点连续性的判断。

解题核心思路：
根据微积分基本定理，若被积函数在积分上限处连续，则变上限积分的导数等于被积函数在该点的值。因此，关键在于验证被积函数在$t=-1$处是否连续。

破题关键点：

1. 换元简化表达式：令$u=1+t$，将被积函数转化为$u^{1/3} \ln |u|$，便于分析极限。
2. 计算极限：通过洛必达法则判断当$u \to 0$时，$u^{1/3} \ln |u|$的极限是否为0，从而确定函数在$t=-1$处的连续性。

设被积函数为$g(t) = \sqrt[3]{1+t} \ln |1+t|$，需验证其在$t=-1$处的连续性。

换元分析：
令$u = 1 + t$，则当$t \to -1$时，$u \to 0$，被积函数变为$g(t) = u^{1/3} \ln |u|$。

计算极限：
当$u \to 0^+$时，
$\lim_{u \to 0^+} u^{1/3} \ln u = \lim_{u \to 0^+} \frac{\ln u}{u^{-1/3}} \quad \text{（转化为$\frac{-\infty}{+\infty}$型，应用洛必达法则）} \\ = \lim_{u \to 0^+} \frac{\frac{1}{u}}{-\frac{1}{3} u^{-4/3}} = \lim_{u \to 0^+} -3 u^{1/3} = 0.$

同理，当$u \to 0^-$时，$\ln |u|$仍趋向$-\infty$，但$u^{1/3}$在$u<0$时有定义，极限仍为0。因此，$g(t)$在$t=-1$处连续，且$g(-1) = 0$。

应用微积分基本定理：
由变上限积分求导法则，$f'(x) = g(x)$，故$f'(-1) = g(-1) = 0$。