题目
已知lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+ax+b}(1-x)=1，其中lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+ax+b}(1-x)=1是常数，则（ ）.A. lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+ax+b}(1-x)=1B.lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+ax+b}(1-x)=1C.lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+ax+b}(1-x)=1D.lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+ax+b}(1-x)=1
已知
，其中
是常数，则（ ）.
A. 
B.
C.
D.
题目解答
答案
由题意，极限，
因为分母极限
，
所以分子极限
，
则可得
，
而该极限是一个
型未定式，于是利用洛必达法则可得
则可得
，
于是联立方程
，
解得.
故选：B
解析
步骤 1：确定分子极限
由于分母的极限$\lim _{x\rightarrow 1}(1-x)=0$，为了使整个极限存在，分子的极限$\lim _{x\rightarrow 1}({x}^{2}+ax+b)$也必须为0。因此，我们有${x}^{2}+ax+b$在$x=1$时的值为0，即$1+a+b=0$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}+ax+b}{1-x}$是一个$\dfrac{0}{0}$型未定式，我们可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x+a}{-1}=1$。因此，$2x+a$在$x=1$时的值为-1，即$2+a=-1$。
步骤 3：解方程组
根据步骤1和步骤2，我们得到方程组$\left \{ \begin{matrix} 1+a+b=0\\ 2+a=-1\end{matrix} \right.$。解这个方程组，得到$a=-3$，$b=2$。
由于分母的极限$\lim _{x\rightarrow 1}(1-x)=0$，为了使整个极限存在，分子的极限$\lim _{x\rightarrow 1}({x}^{2}+ax+b)$也必须为0。因此，我们有${x}^{2}+ax+b$在$x=1$时的值为0，即$1+a+b=0$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {{x}^{2}+ax+b}{1-x}$是一个$\dfrac{0}{0}$型未定式，我们可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {2x+a}{-1}=1$。因此，$2x+a$在$x=1$时的值为-1，即$2+a=-1$。
步骤 3：解方程组
根据步骤1和步骤2，我们得到方程组$\left \{ \begin{matrix} 1+a+b=0\\ 2+a=-1\end{matrix} \right.$。解这个方程组，得到$a=-3$，$b=2$。