题目

8.（10.0分）设A_(1),A_(2),...,A_(n),...是事件列，若A_(n)subset A_(n+1),n=1,2,...,A=bigcap_(i=1)^inftyA_(i),则有P(A)=lim_(ntoinfty)P(A_(n)).（判断10分）A 错误B 正确

8.（10.0分） 设$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n},\cdots$是事件列，若$A_{n}\subset A_{n+1},n=1,2,\cdots,A=\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i},$ 则有$P(A)=\lim_{n\to\infty}P(A_{n})$. （判断10分） A 错误 B 正确

题目解答

答案

设事件列 $A_1, A_2, \cdots$ 满足 $A_n \subset A_{n+1}$（即递增事件列）。根据题意，$A = \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i$。由于 $A_n \subset A_{n+1}$，交集 $A$ 实际上等于 $A_1$，即 $A = A_1$。 根据概率的连续性，对于递增事件列，有： \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n) \] 但题目中 $A = A_1$，而 $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)$。显然，除非 $A_1 = \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$，否则 $P(A) \neq \lim_{n \to \infty} P(A_n)$。 因此，原命题不成立。 **答案：** A 错误

解析

考查要点：本题主要考查概率论中事件列的极限性质，特别是递增事件列的概率极限与交集概率的关系。

解题核心思路：

  1. 明确事件列的包含关系：题目中给出事件列$A_n$是递增的，即$A_n \subset A_{n+1}$，因此所有事件的交集$A = \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i$实际上等于最小的事件$A_1$。
  2. 应用概率的连续性定理：对于递增事件列，概率的极限等于并集的概率，而非交集的概率。
  3. 对比命题中的等式：题目中等式$P(A) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)$成立的条件是$A$等于并集，但实际$A$是交集（即$A_1$），因此等式不成立。

破题关键点：

  • 理解递增事件列的交集性质：递增事件列的交集退化为第一个事件。
  • 区分并集与交集的概率极限：递增事件列的并集概率极限等于各事件概率的极限，而交集概率则固定为第一个事件的概率。

事件列的包含关系分析
由于$A_n \subset A_{n+1}$，所有事件的交集$A = \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i$实际上是$A_1$，因为每个后续事件都包含$A_1$，因此交集无法缩小到比$A_1$更小的范围。

概率的连续性定理应用
根据概率的连续性定理，对于递增事件列，有：
$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \lim_{n \to \infty} P(A_n).$
但题目中的$A$是交集，即$A = A_1$，而$\lim_{n \to \infty} P(A_n)$对应的是并集的概率。除非$A_1$本身等于并集（即所有$A_n$均等于$A_1$），否则$P(A_1) \neq P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right)$。

结论
原命题中等式$P(A) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)$不成立，因此答案为错误。