题目
9.[简答题]交换二次积分int_(0)^2dxint_(0)^x^(3)f(x,y)dy的积分次序.
9.[简答题]交换二次积分$\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{x^{3}}f(x,y)dy$的积分次序.
题目解答
答案
为了交换二次积分$\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{x^3}f(x,y)dy$的积分次序，我们需要理解积分区域，然后用新的积分次序表示它。
1. **确定积分区域：**
原始积分是$\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{x^3}f(x,y)dy$。这表示$x$从0到2变化，对于每个固定的$x$，$y$从0到$x^3$变化。因此，积分区域$D$可以描述为：
\[
D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x^3\}
\]
2. **用$y$和$x$表示区域：**
为了交换积分次序，我们需要将区域$D$表示为$y$的函数。从不等式$0 \leq y \leq x^3$，我们可以解出$x$得到$x \geq y^{1/3}$。由于$x$的最大值是2，区域$D$也可以描述为：
\[
D = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 8, y^{1/3} \leq x \leq 2\}
\]
注意到$y$的上界是$2^3 = 8$。
3. **写出新的二次积分：**
用新的积分次序表示的积分是：
\[
\int_{0}^{8}dy\int_{y^{1/3}}^{2}f(x,y)dx
\]
因此，交换积分次序后的积分是：
\[
\boxed{\int_{0}^{8}dy\int_{y^{1/3}}^{2}f(x,y)dx}
\]
解析
步骤 1：确定积分区域
原始积分是$\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{x^3}f(x,y)dy$。这表示$x$从0到2变化，对于每个固定的$x$，$y$从0到$x^3$变化。因此，积分区域$D$可以描述为： \[ D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x^3\} \]
步骤 2：用$y$和$x$表示区域
为了交换积分次序，我们需要将区域$D$表示为$y$的函数。从不等式$0 \leq y \leq x^3$，我们可以解出$x$得到$x \geq y^{1/3}$。由于$x$的最大值是2，区域$D$也可以描述为： \[ D = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 8, y^{1/3} \leq x \leq 2\} \] 注意到$y$的上界是$2^3 = 8$。
步骤 3：写出新的二次积分
用新的积分次序表示的积分是： \[ \int_{0}^{8}dy\int_{y^{1/3}}^{2}f(x,y)dx \]
原始积分是$\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{x^3}f(x,y)dy$。这表示$x$从0到2变化，对于每个固定的$x$，$y$从0到$x^3$变化。因此，积分区域$D$可以描述为： \[ D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x^3\} \]
步骤 2：用$y$和$x$表示区域
为了交换积分次序，我们需要将区域$D$表示为$y$的函数。从不等式$0 \leq y \leq x^3$，我们可以解出$x$得到$x \geq y^{1/3}$。由于$x$的最大值是2，区域$D$也可以描述为： \[ D = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 8, y^{1/3} \leq x \leq 2\} \] 注意到$y$的上界是$2^3 = 8$。
步骤 3：写出新的二次积分
用新的积分次序表示的积分是： \[ \int_{0}^{8}dy\int_{y^{1/3}}^{2}f(x,y)dx \]