曲线 L 为圆周 x^2 + y^2 = a^2，则对弧长的曲线积分 int_(L) (x^2 + y^2) , ds = （ ）A. pi a^2B. 2pi a^2C. 2pi a^3D. 2pi a^4

考查要点：本题主要考查对弧长的曲线积分的计算，以及利用曲线方程简化被积函数的能力。

解题核心思路：

1. 识别曲线方程：曲线 $L$ 是圆 $x^2 + y^2 = a^2$，因此在曲线上的任意点 $(x, y)$，均有 $x^2 + y^2 = a^2$。
2. 简化被积函数：被积函数 $x^2 + y^2$ 在曲线 $L$ 上恒等于常数 $a^2$，从而将积分转化为常数与弧长的乘积。
3. 计算弧长：圆的周长公式为 $2\pi a$，直接代入即可得到结果。

破题关键点：

• 利用曲线方程将被积函数转化为常数，避免复杂的参数化计算。
• 弧长积分的本质是曲线总长度，结合几何公式快速求解。

步骤1：简化被积函数

在曲线 $L$ 上，任意一点 $(x, y)$ 满足 $x^2 + y^2 = a^2$，因此被积函数可简化为：
$x^2 + y^2 = a^2$
原积分变为：
$\int_{L} (x^2 + y^2) \, ds = \int_{L} a^2 \, ds = a^2 \int_{L} ds$

步骤2：计算弧长积分

$\int_{L} ds$ 表示圆周 $L$ 的总弧长，即圆的周长：
$\int_{L} ds = 2\pi a$

步骤3：代入计算

将结果代入原积分表达式：
$a^2 \cdot 2\pi a = 2\pi a^3$