用完全平方公式分解因式.(1) x^2 - 4x + 4;(2) x^2 + x + (1)/(4);(3) 4x^2 + 12x + 9;(4) 4x^2 - 4x + 1;(5) (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2.

我们来逐题使用**完全平方公式**进行因式分解。完全平方公式如下： - $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $ - $ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 $ --- ### (1) $ x^2 - 4x + 4 $ 我们观察这个式子是否符合完全平方公式。 - $ x^2 $ 是平方项 - $ -4x $ 是中间项 - $ 4 = 2^2 $ 尝试写成 $ (x - 2)^2 $： $$ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 $$ ✅ 完全吻合，所以： **答案：** $ (x - 2)^2 $ --- ### (2) $ x^2 + x + \frac{1}{4} $ 观察： - $ x^2 $ 是平方项 - $ x $ 是中间项 - $ \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $ 尝试写成 $ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 $： $$ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \frac{1}{4} $$ ✅ 完全吻合，所以： **答案：** $ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 $ --- ### (3) $ 4x^2 + 12x + 9 $ 观察： - $ 4x^2 = (2x)^2 $ - $ 9 = 3^2 $ - $ 12x = 2 \cdot 2x \cdot 3 $ 所以可以写成： $$ (2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 $$ ✅ 完全吻合，所以： **答案：** $ (2x + 3)^2 $ --- ### (4) $ 4x^2 - 4x + 1 $ 观察： - $ 4x^2 = (2x)^2 $ - $ 1 = 1^2 $ - $ -4x = -2 \cdot 2x \cdot 1 $ 所以可以写成： $$ (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 $$ ✅ 完全吻合，所以： **答案：** $ (2x - 1)^2 $ --- ### (5) $ (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2 $ 这是一个**嵌套结构**，我们尝试将整个式子看成一个完全平方。 观察： - 第一项：$ (x^2 + 1)^2 $ - 第二项：$ 4x(x^2 + 1) $ - 第三项：$ 4x^2 = (2x)^2 $ 我们尝试写成： $$ [(x^2 + 1) + 2x]^2 $$ 展开验证： $$ [(x^2 + 1) + 2x]^2 = (x^2 + 1 + 2x)^2 = (x^2 + 2x + 1)^2 $$ 而 $ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $，所以： $$ (x^2 + 2x + 1)^2 = [(x + 1)^2]^2 = (x + 1)^4 $$ ✅ 所以原式可写成： **答案：** $ (x + 1)^4 $ --- ### 总结答案： 1. $ x^2 - 4x + 4 = \boxed{(x - 2)^2} $ 2. $ x^2 + x + \frac{1}{4} = \boxed{\left(x + \frac{1}{2}\right)^2} $ 3. $ 4x^2 + 12x + 9 = \boxed{(2x + 3)^2} $ 4. $ 4x^2 - 4x + 1 = \boxed{(2x - 1)^2} $ 5. $ (x^2 + 1)^2 + 4x(x^2 + 1) + 4x^2 = \boxed{(x + 1)^4} $