17.|}-1&1&11&-1&x1&1&-1|是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是____.
题目解答
答案
计算行列式$\begin{vmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & x\\1 & 1 & -1\end{vmatrix}$：
$\begin{vmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & x\\1 & 1 & -1\end{vmatrix} = -1 \times((-1) \times (-1) - x \times 1) - 1 \times(1 \times (-1) - x \times 1) + 1 \times(1 \times 1 - (-1) \times 1)$
化简得：
$= -1 \times(1 - x) - 1 \times(-1 - x) + 1 \times(1 + 1) = -1 + x + 1 + x + 2 = 2x + 2$
该多项式为$2x + 2$，一次项系数为$2$。
答案： $\boxed{2}$
解析
本题考查三阶行列式的计算以及多项式一次项系数的概念。解题思路是先根据三阶行列式的展开法则计算出行列式的值，得到关于$x$的多项式，再确定该多项式一次项的系数。
根据三阶行列式的展开法则：对于三阶行列式$\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}=a_{1}\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}-b_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}+c_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}$，其中二阶行列式$\begin{vmatrix}m&n\\p&q\end{vmatrix}=mq - np$。
对于行列式$\begin{vmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & x\\1 & 1 & -1\end{vmatrix}$，按照上述法则展开：
$\begin{align*}&\begin{vmatrix}-1 & 1 & 1\\1 & -1 & x\\1 & 1 & -1\end{vmatrix}\\=& -1\times\begin{vmatrix}-1 & x\\1 & -1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1 & x\\1 & -1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1 & -1\\1 & 1\end{vmatrix}\\=& -1\times((-1)\times(-1)-x\times1)-1\times(1\times(-1)-x\times1)+1\times(1\times1-(-1)\times1)\\=& -1\times(1 - x)-1\times(-1 - x)+1\times(1 + 1)\\=& -1 + x + 1 + x + 2\\=& 2x + 2\end{align*}$
得到关于$x$的多项式为$2x + 2$，根据一次项系数的定义，一次项$2x$的系数为$2$。