题目
6.已知函数 (x)=xln x-2x+(a)^2-a ,若 (x)leqslant 0 在 in [ 1,(e)^2] 上恒成立,则实数a的取值范围是(-|||-A. [ -1,2] B.[0,1] C.[0,2] D. [ -1,1]
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，对函数 $f(x)=x\ln x-2x+{a}^{2}-a$ 求导，得到 $f'(x)=\ln x-1$。
步骤 2：确定单调性
由于 $f'(x)=\ln x-1$，在区间 $x\in [ 1,{e}^{2}] $ 上，当 $x\in [ 1,e]$ 时，$f'(x)\leqslant 0$，函数单调递减；当 $x\in (e,e^2]$ 时，$f'(x)\geqslant 0$，函数单调递增。
步骤 3：求最大值
因为 $f(x)$ 在 $x\in [ 1,{e}^{2}] $ 上的最大值在端点处取得，计算 $f(1)={a}^{2}-a-2$ 和 $f({e}^{2})={a}^{2}-a$，比较两者，得到 ${f(x)}_{max}=f({e}^{2})={a}^{2}-a$。
步骤 4：求解不等式
因为 $f(x)\leqslant 0$ 在 $x\in [ 1,{e}^{2}] $ 上恒成立，所以 ${f(x)}_{max}={a}^{2}-a\leqslant 0$，解得 $0\leqslant a\leqslant 1$。
首先，对函数 $f(x)=x\ln x-2x+{a}^{2}-a$ 求导，得到 $f'(x)=\ln x-1$。
步骤 2：确定单调性
由于 $f'(x)=\ln x-1$，在区间 $x\in [ 1,{e}^{2}] $ 上，当 $x\in [ 1,e]$ 时，$f'(x)\leqslant 0$，函数单调递减；当 $x\in (e,e^2]$ 时，$f'(x)\geqslant 0$，函数单调递增。
步骤 3：求最大值
因为 $f(x)$ 在 $x\in [ 1,{e}^{2}] $ 上的最大值在端点处取得，计算 $f(1)={a}^{2}-a-2$ 和 $f({e}^{2})={a}^{2}-a$，比较两者，得到 ${f(x)}_{max}=f({e}^{2})={a}^{2}-a$。
步骤 4：求解不等式
因为 $f(x)\leqslant 0$ 在 $x\in [ 1,{e}^{2}] $ 上恒成立，所以 ${f(x)}_{max}={a}^{2}-a\leqslant 0$，解得 $0\leqslant a\leqslant 1$。