题目
将(x)=(cos )^2x展开成x的幂级数.
将
展开成x的幂级数.
题目解答
答案
∵
且
∴
即
解析
步骤 1：利用三角恒等式
首先，我们利用三角恒等式将${\cos }^{2}x$表示为更简单的形式。我们知道${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {\cos 2x}{2}$，这一步是基于二倍角公式$\cos 2x = 2\cos^2x - 1$的变形。
步骤 2：展开$\cos 2x$的幂级数
接下来，我们需要将$\cos 2x$展开成幂级数。已知$\cos x$的幂级数展开式为$\cos x = \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}{x}^{2n}}{(2n)!}$，因此$\cos 2x$的幂级数展开式为$\cos 2x = \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}{(2x)}^{2n}}{(2n)!}$。
步骤 3：代入并简化
将$\cos 2x$的幂级数展开式代入${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {\cos 2x}{2}$中，得到${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}{(2x)}^{2n}}{(2n)!}$。进一步简化，得到$f(x)={\cos }^{2}x=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\cdot \dfrac {{2}^{2n-1}}{(2n)!}{x}^{2n}$。
首先，我们利用三角恒等式将${\cos }^{2}x$表示为更简单的形式。我们知道${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {\cos 2x}{2}$，这一步是基于二倍角公式$\cos 2x = 2\cos^2x - 1$的变形。
步骤 2：展开$\cos 2x$的幂级数
接下来，我们需要将$\cos 2x$展开成幂级数。已知$\cos x$的幂级数展开式为$\cos x = \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}{x}^{2n}}{(2n)!}$，因此$\cos 2x$的幂级数展开式为$\cos 2x = \sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}{(2x)}^{2n}}{(2n)!}$。
步骤 3：代入并简化
将$\cos 2x$的幂级数展开式代入${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {\cos 2x}{2}$中，得到${\cos }^{2}x=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}{(2x)}^{2n}}{(2n)!}$。进一步简化，得到$f(x)={\cos }^{2}x=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\cdot \dfrac {{2}^{2n-1}}{(2n)!}{x}^{2n}$。