单选题(4.0分) 17. 设D是由圆周x^2+y^2=1所围成的闭区域，则iint_(D)e^2(x^(2+y^2))dxdy=(pi)/(2)(e^2-1). (5.0)A. 对B. 错

本题考查利用极坐标计算二重积分的知识。解题思路是先将直角坐标下的二重积分转化为极坐标下的二重积分，然后分别对极径和极角进行积分，最后判断计算结果是否与给定结果一致。

1. 将直角坐标转化为极坐标：
   在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且$dxdy = r drd\theta$，$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
   已知积分区域$D$是由圆周$x^{2}+y^{2}=1$所围成的闭区域，那么在极坐标下，$r$的范围是$0\leq r\leq 1$，$\theta$的范围是$0\leq \theta\leq 2\pi$。
   所以原积分$\iint_{D}e^{2(x^{2}+y^{2})}dxdy$可转化为$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}e^{2r^{2}}r dr$。
2. 计算关于$r$的积分：
   令$t = 2r^{2}$，则$dt = 4r dr$，当$r = 0$时，$t = 0$；当$r = 1$时，$t = 2$。
   $\int_{0}^{1}e^{2r^{2}}r dr=\frac{1}{4}\int_{0}^{2}e^{t}dt$
   根据指数函数的积分公式$\int e^{t}dt = e^{t}+C$，可得：
   $\frac{1}{4}\int_{0}^{2}e^{t}dt=\frac{1}{4}(e^{t})\big|_{0}^{2}=\frac{1}{4}(e^{2}-e^{0})=\frac{1}{4}(e^{2}-1)$
3. 计算关于$\theta$的积分：
   $\int_{0}^{2\pi}d\theta = \theta\big|_{0}^{2\pi}=2\pi - 0 = 2\pi$
4. 计算最终结果：
   将上述两个积分结果相乘，可得：
   $\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}e^{2r^{2}}r dr = 2\pi\times\frac{1}{4}(e^{2}-1)=\frac{\pi}{2}(e^{2}-1)$
   计算结果与题目中给定的结果一致。