题目

4.(7分)设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(x)=f(x-π)+sinx,且f(x)=x,x∈[0,π)， 求f(x)在[π,3π)上的表达式.

4.(7分)设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(x)=f(x-π)+sinx,且f(x)=x,x∈[0,π)， 求f(x)在[π,3π)上的表达式.

题目解答

答案

设函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x) = f(x - \pi) + \sin x $，且 $ f(x) = x $ 对 $ x \in [0, \pi) $。
情况1：$ x \in [\pi, 2\pi) $
此时 $ x - \pi \in [0, \pi) $，由初始条件得 $ f(x - \pi) = x - \pi $，代入递推式得：
$f(x) = (x - \pi) + \sin x = x - \pi + \sin x$
情况2：$ x \in [2\pi, 3\pi) $
此时 $ x - \pi \in [\pi, 2\pi) $，由情况1得 $ f(x - \pi) = (x - \pi) - \pi + \sin(x - \pi) = x - 2\pi - \sin x $，代入递推式得：
$f(x) = (x - 2\pi - \sin x) + \sin x = x - 2\pi$
结论：
$\boxed{\begin{cases} x - \pi + \sin x, & x \in [\pi, 2\pi), \\ x - 2\pi, & x \in [2\pi, 3\pi). \end{cases}}$

解析

本题考查函数表达式的求解，解题的关键在于利用已知的函数递推关系$f(x)=f(x - \pi) + \sin x$以及$f(x)$在$[0, \pi)$上的表达式，通过逐步推导来确定$f(x)$在$[\pi, 3\pi)$上的表达式。具体步骤如下：

  1. 当$x\in[\pi, 2\pi)$时：
    • 因为$x\in[\pi, 2\pi)$，那么$x - \pi\in[0, \pi)$。
    • 已知$f(x)=x$，$x\in[0, \pi)$，所以当$x - \pi\in[0, \pi)$时，$f(x - \pi)=x - \pi$。
    • 将$f(x - \pi)=x - \pi$代入递推式$f(x)=f(x - \pi) + \sin x$，可得：
      $f(x)=(x - \pi) + \sin x=x - \pi + \sin x$。
  2. 当$x\in[2\pi, 3\pi)$时：
    • 由于$x\in[2\pi, 3\pi)$，则$x - \pi\in[\pi, 2\pi)$。
    • 由前面步骤已求得当$x\in[\pi, 2\pi)$时，$f(x)=x - \pi + \sin x$，所以当$x - \pi\in[\pi, 2\pi)$时，$f(x - \pi)=(x - \pi) - \pi + \sin(x - \pi)$。
    • 根据三角函数诱导公式$\sin(A - \pi)=-\sin A$，可得$\sin(x - \pi)=-\sin x$，则$f(x - \pi)=(x - \pi) - \pi + \sin(x - \pi)=x - 2\pi - \sin x$。
    • 将$f(x - \pi)=x - 2\pi - \sin x$代入递推式$f(x)=f(x - \pi) + \sin x$，可得：
      $f(x)=(x - 2\pi - \sin x) + \sin x=x - 2\pi$。