1.设随机变量X1,X2,···,Xn,····是独立同分布的随机变量序列,且-|||-X 0 1-|||-P .1-p p-|||-i=1,2 ,..., lt plt 1 .令 _(n)=sum _(i=1)^n(X)_(i) ,则 lim dfrac {{v)_(n)-np}(sqrt {np(1-p))}leqslant 1} =(B .-|||-A.0 B.ϕ(1) C. https:/img.cdnjtzy.com/zyb_6a3a7c72569bfdf62beb1fe39dd53025.jpg-(1)(1) D.1

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，特别是独立同分布的伯努利随机变量和的极限分布。

解题核心思路：

1. 识别分布类型：题目中随机变量$X_i$服从伯努利分布，$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$服从二项分布$B(n,p)$。
2. 标准化处理：将$Y_n$标准化为$\frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$，其形式符合中心极限定理的条件。
3. 应用中心极限定理：当$n \to \infty$时，标准化后的统计量趋近于标准正态分布$N(0,1)$，因此所求概率转化为标准正态分布的累积分布函数值。

破题关键点：

• 独立同分布且方差存在是应用中心极限定理的前提。
• 标准化形式的构造是连接二项分布与正态分布的桥梁。

步骤1：确定$Y_n$的分布

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$是$n$次独立试验中成功的次数，服从二项分布$B(n,p)$，其均值为$E(Y_n) = np$，方差为$\text{Var}(Y_n) = np(1-p)$。

步骤2：标准化处理

构造标准化统计量：
$Z_n = \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$
当$n \to \infty$时，根据中心极限定理，$Z_n$的分布趋近于标准正态分布$N(0,1)$。

步骤3：计算极限概率

题目所求概率为：
$\lim_{n \to \infty} P\left( \frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq 1 \right) = \lim_{n \to \infty} P(Z_n \leq 1)$
由于$Z_n$趋近于标准正态变量$Z \sim N(0,1)$，因此极限概率为：
$P(Z \leq 1) = \Phi(1)$
其中$\Phi(1)$是标准正态分布的累积分布函数在$1$处的取值。