题目
设连续随机变量X ~ U [ 0 , 2 ],则随机变量函数 Y = sin ( X ) 的数学期望为_______
设连续随机变量X ~ U [ 0 , 2 ],则随机变量函数 Y = sin ( X ) 的数学期望为_______
题目解答
答案
∵X~U(0,2)
∴
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
随机变量X服从区间[0, 2]上的均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{2}, & 0 < x < 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：计算随机变量函数Y的数学期望
随机变量函数Y = sin(X)的数学期望E(Y)可以通过积分计算得到：
\[ E(Y) = E(\sin(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} \sin(x) f(x) dx \]
由于f(x)在[0, 2]区间外为0，因此积分范围可以简化为[0, 2]：
\[ E(Y) = \int_{0}^{2} \sin(x) \cdot \dfrac{1}{2} dx \]
步骤 3：计算积分
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{2} \sin(x) dx \]
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{2} \]
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \left( -\cos(2) + \cos(0) \right) \]
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - \cos(2) \right) \]
随机变量X服从区间[0, 2]上的均匀分布，其概率密度函数为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{2}, & 0 < x < 2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases} \]
步骤 2：计算随机变量函数Y的数学期望
随机变量函数Y = sin(X)的数学期望E(Y)可以通过积分计算得到：
\[ E(Y) = E(\sin(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} \sin(x) f(x) dx \]
由于f(x)在[0, 2]区间外为0，因此积分范围可以简化为[0, 2]：
\[ E(Y) = \int_{0}^{2} \sin(x) \cdot \dfrac{1}{2} dx \]
步骤 3：计算积分
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{2} \sin(x) dx \]
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{2} \]
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \left( -\cos(2) + \cos(0) \right) \]
\[ E(Y) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - \cos(2) \right) \]