在水平飞行的飞机上向前发射一颗炮弹，发射后飞机的速度为v0，炮弹相对于飞机的速度为v，略去空气阻力，则（1）以地球为参考系，炮弹的轨迹方程为 ____ ；（2）以飞机为参考系，炮弹的轨迹方程为 ____ ．（设两种参考系中坐标原点均在发射处，x轴沿速度方向向前，y轴竖直向下）

考查要点：本题主要考查参考系转换和平抛运动轨迹方程的推导能力。
解题核心思路：

1. 确定炮弹在不同参考系中的初速度：
   • 地球参考系中，炮弹的初速度为飞机速度与炮弹相对速度的矢量和；
   • 飞机参考系中，炮弹的初速度即为其相对飞机的速度。
2. 应用平抛运动规律：
   • 水平方向匀速直线运动，竖直方向自由下落；
   • 通过时间消元，建立轨迹方程。

破题关键点：

• 明确参考系转换时速度的叠加关系；
• 正确写出水平和竖直方向的位移表达式，并消去时间变量。

第（1）题

以地球为参考系

1. 初速度分析：
   炮弹的初速度为飞机速度 $v_0$ 与炮弹相对飞机速度 $v$ 的矢量和，即 $v_{\text{初}} = v + v_0$。
2. 水平方向运动：
   $x = (v + v_0)t \implies t = \frac{x}{v + v_0}$
3. 竖直方向运动：
   $y = \frac{1}{2}gt^2$
4. 消去时间变量：
   将 $t = \frac{x}{v + v_0}$ 代入 $y$ 的表达式，得：
   $y = \frac{g x^2}{2(v + v_0)^2}$

第（2）题

以飞机为参考系

1. 初速度分析：
   炮弹的初速度为相对飞机的速度 $v$。
2. 水平方向运动：
   $x = v t \implies t = \frac{x}{v}$
3. 竖直方向运动：
   $y = \frac{1}{2}gt^2$
4. 消去时间变量：
   将 $t = \frac{x}{v}$ 代入 $y$ 的表达式，得：
   $y = \frac{g x^2}{2v^2}$