设 A，B 均为 n 阶方矩阵，则必有（）。 A. |A + B| = |A| + |B|B. AB = BAC. |AB| = |BA|D. |A|^2 = |B|^2

为了确定给定的关于 $n$ 阶方矩阵 $A$ 和 $B$ 的陈述中哪一个是正确的，让我们逐步分析每个选项。 **选项 A: $|A+B| = |A| + |B|$** 这个陈述是关于两个矩阵之和的行列式等于它们的行列式之和。然而，行列式并不具有这样的性质。例如，考虑 $1 \times 1$ 矩阵 $A = [1]$ 和 $B = [2]$。那么 $A + B = [3]$，行列式为 $|A+B| = 3$，而 $|A| = 1$ 和 $|B| = 2$，所以 $|A| + |B| = 3$。在这个特定情况下，它成立，但通常对于较大的矩阵，它不成立。例如，如果 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$，那么 $A + B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$，行列式为 $|A+B| = 0$，而 $|A| = 1$ 和 $|B| = 1$，所以 $|A| + |B| = 2$。因此，这个陈述一般不成立。 **选项 B: $AB = BA$** 这个陈述是关于矩阵乘法的交换性。然而，矩阵乘法通常不具有交换性。例如，考虑矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$。那么 $AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 和 $BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$。由于 $AB \neq BA$，这个陈述一般不成立。 **选项 C: $|AB| = |BA|$** 这个陈述是关于两个矩阵乘积的行列式。行列式的一个重要性质是对于任何两个 $n$ 阶方矩阵 $A$ 和 $B$，有 $|AB| = |A||B|$ 和 $|BA| = |B||A|$。由于乘法的行列式是可交换的，我们有 $|A||B| = |B||A|$，因此 $|AB| = |BA|$。这个陈述总是成立的。 **选项 D: $|A|^2 = |B|^2$** 这个陈述是关于矩阵 $A$ 和 $B$ 的行列式的平方。没有理由两个任意矩阵的行列式的平方应该相等。例如，如果 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$，那么 $|A| = 1$ 和 $|B| = 4$，所以 $|A|^2 = 1$ 和 $|B|^2 = 16$。因此，这个陈述一般不成立。 根据分析，正确答案是 $\boxed{C}$。