题目
【例11】证明：当x>0时， 1+xln(x+sqrt(1+x^2))>sqrt(1+x^2).
【例11】证明：当x>0时，$ 1+x\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})>\sqrt{1+x^{2}}.$
题目解答
答案
定义函数 $f(x) = 1 + x \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) - \sqrt{1 + x^2}$，求导得
\[
f'(x) = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}).
\]
由于 $x + \sqrt{1 + x^2} > 1$（当 $x > 0$ 时），故 $\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) > 0$，即 $f'(x) > 0$。
因此，$f(x)$ 在 $x > 0$ 时单调递增。又 $f(0) = 0$，故 $f(x) > 0$ 对于 $x > 0$。
从而，原不等式得证。
\[
\boxed{1 + x \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) > \sqrt{1 + x^2}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数单调性的判断及初始条件的应用。
解题核心思路：
- 构造函数：将不等式转化为函数形式，定义$f(x) = 1 + x \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) - \sqrt{1 + x^2}$，需证明$f(x) > 0$（$x > 0$）。
- 求导分析单调性：通过求导$f'(x)$，判断函数单调性。若$f'(x) > 0$，则$f(x)$在$x > 0$时单调递增。
- 结合初始值：验证$f(0) = 0$，结合单调性可得$f(x) > 0$（$x > 0$）。
破题关键点：
- 关键变形：将不等式转化为函数差的形式，便于分析单调性。
- 导数化简：通过链式法则和乘积法则求导，发现$f'(x)$的简化形式为$\ln(x + \sqrt{1 + x^2})$。
- 符号判断：利用$x + \sqrt{1 + x^2} > 1$（$x > 0$）得出$\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) > 0$，从而$f'(x) > 0$。
步骤1：构造函数
定义函数$f(x) = 1 + x \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) - \sqrt{1 + x^2}$，需证明$f(x) > 0$（$x > 0$）。
步骤2：求导分析单调性
对$f(x)$求导：
$\begin{aligned}f'(x) &= \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) + x \cdot \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \\&= \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \\&= \ln(x + \sqrt{1 + x^2}).\end{aligned}$
步骤3：判断导数符号
当$x > 0$时，$\sqrt{1 + x^2} > x$，因此$x + \sqrt{1 + x^2} > 1$，故$\ln(x + \sqrt{1 + x^2}) > 0$，即$f'(x) > 0$。
结论：$f(x)$在$x > 0$时单调递增。
步骤4：结合初始值
验证$f(0) = 1 + 0 \cdot \ln(0 + 1) - \sqrt{1 + 0} = 0$。
由于$f(x)$单调递增且$f(0) = 0$，当$x > 0$时，$f(x) > f(0) = 0$，即原不等式成立。