题目
5、已知随机变量X的密度函数为 (x)=dfrac (1)(2sqrt {2pi )}(e)^-dfrac ({(x-1)^2)(8)}, 则 =dfrac (X-1)(2)approx N(0,1) (
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X的分布
给定的密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{8}}$ 是一个正态分布的密度函数。正态分布的一般形式为 $f(x)=\dfrac {1}{\sigma\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-\mu)}^{2}}{2\sigma^2}}$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差。通过比较，我们可以看出 $\mu=1$，$\sigma^2=4$，因此 $X\sim N(1,4)$。
步骤 2：计算随机变量Y的分布
给定 $Y=\dfrac {X-1}{2}$，我们需要确定Y的分布。由于X是正态分布，线性变换后的随机变量Y也是正态分布。均值和方差的变换规则为：如果 $Y=aX+b$，则 $E(Y)=aE(X)+b$，$Var(Y)=a^2Var(X)$。因此，$E(Y)=\dfrac {1}{2}E(X)-\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}\times1-\dfrac {1}{2}=0$，$Var(Y)=\left(\dfrac {1}{2}\right)^2Var(X)=\dfrac {1}{4}\times4=1$。因此，$Y\sim N(0,1)$。
给定的密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{8}}$ 是一个正态分布的密度函数。正态分布的一般形式为 $f(x)=\dfrac {1}{\sigma\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-\mu)}^{2}}{2\sigma^2}}$，其中 $\mu$ 是均值，$\sigma^2$ 是方差。通过比较，我们可以看出 $\mu=1$，$\sigma^2=4$，因此 $X\sim N(1,4)$。
步骤 2：计算随机变量Y的分布
给定 $Y=\dfrac {X-1}{2}$，我们需要确定Y的分布。由于X是正态分布，线性变换后的随机变量Y也是正态分布。均值和方差的变换规则为：如果 $Y=aX+b$，则 $E(Y)=aE(X)+b$，$Var(Y)=a^2Var(X)$。因此，$E(Y)=\dfrac {1}{2}E(X)-\dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}\times1-\dfrac {1}{2}=0$，$Var(Y)=\left(\dfrac {1}{2}\right)^2Var(X)=\dfrac {1}{4}\times4=1$。因此，$Y\sim N(0,1)$。