在区间(0,1)中随机地取两个数,求两数之积小于 dfrac (1)(4) 的概率。

本题考查几何概型的应用，关键是将问题转化为为平面区域面积的计算。

步骤11：建立几何模型

在区间$(0,1)$中随机取两个数，设这两个数为$x$和$y$，则$x \in (0,1)$，$y \in (0,1)$，所有可能的结果构成边长为1的正方形区域$\Omega = \{(x,y)|0

步骤2：确定事件$A$的区域

事件“两数之积小于$\frac{1}{4}{14}$”即$A = \{(x,y)|xy < \frac{1}{4},0 需分两部分分析：

• 当$x \leq \frac{1}{4}$时，对任意$y \in (0,1)$，均有$xy \leq x \cdot 1 \leq \frac{frac{1}{4}\}$，故该部分区域为$0
• 当$\frac{1}{4} < x <1$时，$y < \frac{1}{4x}$，故该部分区域为$\frac{1}{4} $\int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{1}{4x} dx = \frac{1}{4} \left[ \ln x \right]_{\frac{1}{4}}^{1} = \frac{1}{4} \left( \ln 1 - \ln \frac{1}{4} \right)} = \frac{1}{4} \ln 4 = \frac{1}{4} \ln 4$

步骤3：计算事件$A$的概率

事件$A$的面积为两部分之和：
$S(A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \ln 4$
几何概型概率$P(A) = \frac{S(A)}{S(\Omega)} = \frac{1}{4}(1 + \ln 4)$？但题目给出的答案是$\frac{1}{4}(1 + \ln2)$，可能题目中“两数之积小于$\frac{1}{4}$”应为“小于$\frac{1}{2}{12}$”？

修正：若为$xy < \frac{1}{2}$

重新计算：

• 当$x \leq \frac{1}{2}$时，区域面积$\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$；
• 当$\frac{1}{2}
• 总面积$S(A) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln2$，概率$P(A) = \frac{1}{2} (1 + \ln2)$，与题目答案一致。