2.已知函数 f(x)= { , xgt 0 a+cos x, xleqslant 0 . 在 x=0 处连续,求常数a的值.

考查要点：本题主要考查函数在某点连续的定义及分段函数极限的计算方法。

解题核心思路：
函数在$x=0$处连续需满足三个条件：

1. 函数在$x=0$处有定义，即$f(0)$存在；
2. 左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$和右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$均存在；
3. 左右极限相等且等于$f(0)$。

破题关键点：

• 计算右极限：利用夹逼定理处理$x \sin \frac{1}{x}$的极限；
• 计算左极限：直接代入$x=0$求$\cos x$的值；
• 联立方程：通过左右极限与$f(0)$相等求解$a$。

步骤1：计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$
当$x \to 0^+$时，$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$。
由于$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，故$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x|$。
当$x \to 0^+$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理，得：
$\lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0.$

步骤2：计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$
当$x \to 0^-$时，$f(x) = a + \cos x$。
$\cos x$在$x=0$处连续，故：
$\lim_{x \to 0^-} (a + \cos x) = a + \cos 0 = a + 1.$

步骤3：利用连续性条件
函数在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0).$
由$f(0) = a + \cos 0 = a + 1$，联立得：
$0 = a + 1 \quad \Rightarrow \quad a = -1.$