由曲线 =ln x 与两直线 y=(e+1)-x由曲线 =ln x 与两直线 y=(e+1)-x

考查要点：本题主要考查利用定积分计算平面图形的面积，涉及曲线交点的求解及积分区域的划分。

解题思路：

1. 确定交点：找到曲线$y=\ln x$、直线$y=(e+1)-x$和$y=0$的交点，明确积分上下限。
2. 划分区域：根据交点将图形分为两部分，分别计算各部分面积后相加。
3. 选择积分变量：可对$x$积分（分段计算）或对$y$积分（转换函数表达式），选择更简便的方式。

关键点：

• 交点求解：通过联立方程确定积分上下限。
• 积分函数选择：明确每段区域的上下边界函数。

步骤1：确定交点

1. 曲线$y=\ln x$与$y=0$的交点：
   令$\ln x = 0$，解得$x=1$，交点为$(1,0)$。
2. 直线$y=(e+1)-x$与$y=0$的交点：
   令$(e+1)-x=0$，解得$x=e+1$，交点为$(e+1,0)$。
3. 曲线$y=\ln x$与直线$y=(e+1)-x$的交点：
   联立$\ln x = (e+1)-x$，代入$x=e$验证得$\ln e = 1$，右边为$(e+1)-e=1$，故交点为$(e,1)$。

步骤2：划分积分区域

• 区域1：$x$从$1$到$e$，上边界为$y=\ln x$，下边界为$y=0$。
• 区域2：$x$从$e$到$e+1$，上边界为$y=(e+1)-x$，下边界为$y=0$。

步骤3：计算面积

方法1（对$x$积分）：
$\begin{aligned}S &= \int_{1}^{e} \ln x \, dx + \int_{e}^{e+1} \left[(e+1)-x\right] dx \\&= \left[ x\ln x - x \right]_{1}^{e} + \left[ (e+1)x - \frac{x^2}{2} \right]_{e}^{e+1} \\&= \left( e \cdot 1 - e - (1 \cdot 0 - 1) \right) + \left( \frac{(e+1)^2}{2} - \left( e^2/2 + e \right) \right) \\&= 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.\end{aligned}$

方法2（对$y$积分）：
将$x$表示为$y$的函数：

• 曲线$y=\ln x$对应$x=e^y$，
• 直线$y=(e+1)-x$对应$x=e+1-y$。

积分范围$y$从$0$到$1$，水平条宽度为$(e+1-y) - e^y$：
$\begin{aligned}S &= \int_{0}^{1} \left[ (e+1-y) - e^y \right] dy \\&= \left[ (e+1)y - \frac{y^2}{2} - e^y \right]_{0}^{1} \\&= \left( (e+1) - \frac{1}{2} - e \right) - \left( 0 - 0 - 1 \right) \\&= \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.\end{aligned}$