题目
由曲线 =ln x 与两直线 y=(e+1)-x由曲线 =ln x 与两直线 y=(e+1)-x
题目解答
答案
解析：
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要确定曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=(e+1)-x$ 和 $y=0$ 的交点。对于 $y=0$，我们有 $\ln x=0$，解得 $x=1$。对于 $y=(e+1)-x$，我们有 $\ln x=(e+1)-x$，解得 $x=e$。因此，交点为 $(1,0)$ 和 $(e,1)$。
步骤 2：计算面积
接下来，我们需要计算由曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=(e+1)-x$ 和 $y=0$ 所围成的平面图形的面积。这个面积可以分为两部分：一部分是曲线 $y=\ln x$ 与 $y=0$ 之间的面积，另一部分是直线 $y=(e+1)-x$ 与 $y=0$ 之间的面积。因此，所求面积为 $S={\int }_{1}^{e}\ln xdx+{\int }_{e}^{e+1}(e+1-x)dx$。
步骤 3：计算积分
计算第一个积分 ${\int }_{1}^{e}\ln xdx$，我们使用分部积分法，设 $u=\ln x$，$dv=dx$，则 $du=\dfrac{1}{x}dx$，$v=x$。因此，${\int }_{1}^{e}\ln xdx=[x\ln x]_{1}^{e}-{\int }_{1}^{e}dx=[e\ln e-1\ln 1]-(e-1)=e-1$。计算第二个积分 ${\int }_{e}^{e+1}(e+1-x)dx$，我们直接计算，得到 ${\int }_{e}^{e+1}(e+1-x)dx=[(e+1)x-\dfrac{1}{2}x^2]_{e}^{e+1}=(e+1)^2-\dfrac{1}{2}(e+1)^2-(e^2-\dfrac{1}{2}e^2)=\dfrac{1}{2}$。因此，所求面积为 $S=e-1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$。
首先，我们需要确定曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=(e+1)-x$ 和 $y=0$ 的交点。对于 $y=0$，我们有 $\ln x=0$，解得 $x=1$。对于 $y=(e+1)-x$，我们有 $\ln x=(e+1)-x$，解得 $x=e$。因此，交点为 $(1,0)$ 和 $(e,1)$。
步骤 2：计算面积
接下来，我们需要计算由曲线 $y=\ln x$ 与直线 $y=(e+1)-x$ 和 $y=0$ 所围成的平面图形的面积。这个面积可以分为两部分：一部分是曲线 $y=\ln x$ 与 $y=0$ 之间的面积，另一部分是直线 $y=(e+1)-x$ 与 $y=0$ 之间的面积。因此，所求面积为 $S={\int }_{1}^{e}\ln xdx+{\int }_{e}^{e+1}(e+1-x)dx$。
步骤 3：计算积分
计算第一个积分 ${\int }_{1}^{e}\ln xdx$，我们使用分部积分法，设 $u=\ln x$，$dv=dx$，则 $du=\dfrac{1}{x}dx$，$v=x$。因此，${\int }_{1}^{e}\ln xdx=[x\ln x]_{1}^{e}-{\int }_{1}^{e}dx=[e\ln e-1\ln 1]-(e-1)=e-1$。计算第二个积分 ${\int }_{e}^{e+1}(e+1-x)dx$，我们直接计算，得到 ${\int }_{e}^{e+1}(e+1-x)dx=[(e+1)x-\dfrac{1}{2}x^2]_{e}^{e+1}=(e+1)^2-\dfrac{1}{2}(e+1)^2-(e^2-\dfrac{1}{2}e^2)=\dfrac{1}{2}$。因此，所求面积为 $S=e-1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$。