题目
设D是直线x=1，y=x以及x轴所围成的闭区域，则iintlimits_(D)xydsigma=(1)/(8)。()√ ×
设D是直线x=1，y=x以及x轴所围成的闭区域，
则$\iint\limits_{D}xyd\sigma=\frac{1}{8}$。()
√ ×
题目解答
答案
为了确定给定的积分 $\iint\limits_{D}xy\,d\sigma = \frac{1}{8}$ 是否正确，我们需要计算区域 $D$ 上的二重积分，该区域由直线 $x=1$，$y=x$ 和x轴所围成。
首先，我们描述区域 $D$。区域 $D$ 是一个直角三角形，顶点位于 $(0,0)$，$(1,0)$ 和 $(1,1)$。我们可以将区域 $D$ 表达为：
\[ D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x \}. \]
二重积分 $\iint\limits_{D}xy\,d\sigma$ 可以写成迭代积分：
\[ \iint\limits_{D}xy\,d\sigma = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \, dy \, dx. \]
我们首先对 $y$ 进行积分：
\[ \int_{0}^{x} xy \, dy = x \int_{0}^{x} y \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x} = x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}. \]
接下来，我们对 $x$ 进行积分：
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^3}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}. \]
因此，二重积分 $\iint\limits_{D}xy\,d\sigma$ 的值确实是 $\frac{1}{8}$。
给定的陈述是正确的。答案是：
\[
\boxed{\sqrt{}}
\]
解析
本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域 $D$ 的范围，然后将二重积分转化为迭代积分进行计算，最后将计算结果与给定的值进行比较判断对错。
- 确定积分区域 $D$ 的范围：
- 已知区域 $D$ 由直线 $x = 1$，$y = x$ 以及 $x$ 轴所围成。
- 直线 $y = x$ 与 $x$ 轴交点为 $(0,0)$，直线 $x = 1$ 与 $y = x$ 交点为 $(1,1)$，直线 $x = 1$ 与 $x$ 轴交点为 $(1,0)$。
- 所以区域 $D$ 可以表示为 $D=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,0\leq y\leq x\}$。
- 将二重积分转化为迭代积分：
- 根据二重积分的计算方法，$\iint\limits_{D}xyd\sigma=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}xy\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。
- 先对 $y$ 积分：
- 计算 $\int_{0}^{x}xy\mathrm{d}y$，把 $x$ 看作常数，根据积分公式 $\int y^n\mathrm{d}y=\frac{y^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
- $\int_{0}^{x}xy\mathrm{d}y=x\int_{0}^{x}y\mathrm{d}y=x\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}$。
- 把 $y = x$ 和 $y = 0$ 代入上式，得到 $x\cdot\frac{x^{2}}{2}-x\cdot0=\frac{x^{3}}{2}$。
- 计算 $\int_{0}^{x}xy\mathrm{d}y$，把 $x$ 看作常数，根据积分公式 $\int y^n\mathrm{d}y=\frac{y^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
- 再对 $x$ 积分：
- 计算 $\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2}\mathrm{d}x$，根据积分公式 $\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
- $\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{3}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}$。
- 把 $x = 1$ 和 $x = 0$ 代入上式，得到 $\frac{1}{2}\times\frac{1^{4}}{4}-\frac{1}{2}\times0=\frac{1}{8}$。
- 计算 $\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2}\mathrm{d}x$，根据积分公式 $\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
- 判断对错：
- 因为计算得到的积分值为 $\frac{1}{8}$，与题目中给定的值相等，所以该陈述是正确的。