11.(2020佛山禅城模拟,24)如图, 是 Delta ABC 的外接-|||-圆,AB为 的直径,过点A作A D平分 angle BAC 交 -|||-于点D,过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长-|||-线于点E、F,作 bot AB 于点G,连接BD.-|||-(1)求证: Delta AEDbacksim Delta DGB;-|||-(2)求证:EF是 的切线;-|||-(3)若 dfrac (BF)(DF)=dfrac (sqrt {3)}(3) =4, 求BD的长度(结果保留π).-|||-A.-|||-0-|||-G-|||-B-|||-C-|||-E D F

1. 第（1）题：考查相似三角形的判定。关键点在于利用角平分线、平行线及垂直关系，找到两组对应角相等，从而证明相似。
2. 第（2）题：考查切线的判定。核心思路是连接圆心与切点，证明半径与直线垂直。需通过角度关系转化，结合平行线性质完成证明。
3. 第（3）题：综合相似三角形、勾股定理及三角函数。破题关键是通过比例关系建立方程，结合圆的性质求解线段长度。

第（1）题

角平分线性质

由AD平分$\angle BAC$，得$\angle EAD = \angle DAB$。

平行线性质

因$DF \parallel BC$，$\angle ADE = \angle ABC$。又$AB$为直径，$\angle ABC = \angle ABD$（同弧所对圆周角相等）。

垂直关系

$DG \perp AB$，故$\angle BGD = 90^\circ$。结合$AE \parallel BC$，$\angle AED = 90^\circ$。

相似判定

$\angle EAD = \angle DAB$，$\angle AED = \angle DGB = 90^\circ$，故$\Delta AED \sim \Delta DGB$（AA相似）。

第（2）题

连接半径OD

连接$OD$，由$OA = OD$，$\angle OAD = \angle ADO$。

角度关系

$\angle DOF = \angle OAD + \angle ADO = 2\angle DAF$。由AD平分$\angle BAC$，$\angle EAF = 2\angle DAF$，故$\angle DOF = \angle EAF$。

平行与垂直

$AE \parallel OD$，结合$AE \perp EF$，得$OD \perp EF$。因此，$EF$为$\odot O$的切线。

第（3）题

相似三角形比例

由$\dfrac{BF}{DF} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，得$\angle DAB = 30^\circ$。利用$\Delta ADF \sim \Delta DBF$，得$\dfrac{AD}{DB} = \sqrt{3}$。

勾股定理

$AD^2 + BD^2 = AB^2 = 64$，代入$AD = \sqrt{3} BD$，解得$BD = 4$。