题目
[例 -10 如图 2-34 所示有一弧形闸门AB,宽度 b=-|||-, alpha =(45)^circ , 半径 =2m, 闸门转轴恰好与门顶平齐,求-|||-作用在闸门AB上的静水总压力。-|||-A 0-|||-= 2-|||-a-|||-心 只-|||-Px-|||-P-|||-π-|||-图 2-34 例 2-10 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算水平方向总压力Px
水平方向总压力Px由公式 (2-39) 得：
${P}_{x}=\rho gh_{c}{A}_{x}$
其中，$\rho$ 是水的密度，$g$ 是重力加速度，$h_{c}$ 是压力中心的深度，${A}_{x}$ 是闸门在水平方向的投影面积。
对于本题，$h_{c}=\dfrac {1}{2}R\sin \alpha$，${A}_{x}=R\sin \alpha \cdot b$，代入公式得：
${P}_{x}=\rho g\dfrac {1}{2}R\sin \alpha \cdot R\sin \alpha \cdot b$
步骤 2：计算铅垂方向的总压力Pz
铅垂方向的总压力Pz由公式 (2-40) 得：
${P}_{z}=\rho g{V}_{P}$
其中，${V}_{P}$ 是压力中心的体积。
对于本题，${V}_{P}=\dfrac {45}{360}\pi {R}^{2}-\dfrac {1}{2}R\sin \alpha \cdot R\cos \alpha$，代入公式得：
${P}_{z}=\dfrac {1}{8}\rho g{R}^{2}b(\pi -2\sin 2\alpha )$
步骤 3：计算总压力P
总压力P为水平方向总压力Px和铅垂方向的总压力Pz的矢量和，即：
$P=\sqrt {{{P}_{x}}^{2}+{{P}_{z}}^{2}}$
步骤 4：计算总压力P与水平方向的夹角θ
总压力P与水平方向的夹角θ由公式 $\tan \theta =\dfrac {{P}_{z}}{{P}_{x}}$ 得：
$\theta =\arctan \dfrac {{P}_{z}}{{P}_{x}}$
水平方向总压力Px由公式 (2-39) 得：
${P}_{x}=\rho gh_{c}{A}_{x}$
其中，$\rho$ 是水的密度，$g$ 是重力加速度，$h_{c}$ 是压力中心的深度，${A}_{x}$ 是闸门在水平方向的投影面积。
对于本题，$h_{c}=\dfrac {1}{2}R\sin \alpha$，${A}_{x}=R\sin \alpha \cdot b$，代入公式得：
${P}_{x}=\rho g\dfrac {1}{2}R\sin \alpha \cdot R\sin \alpha \cdot b$
步骤 2：计算铅垂方向的总压力Pz
铅垂方向的总压力Pz由公式 (2-40) 得：
${P}_{z}=\rho g{V}_{P}$
其中，${V}_{P}$ 是压力中心的体积。
对于本题，${V}_{P}=\dfrac {45}{360}\pi {R}^{2}-\dfrac {1}{2}R\sin \alpha \cdot R\cos \alpha$，代入公式得：
${P}_{z}=\dfrac {1}{8}\rho g{R}^{2}b(\pi -2\sin 2\alpha )$
步骤 3：计算总压力P
总压力P为水平方向总压力Px和铅垂方向的总压力Pz的矢量和，即：
$P=\sqrt {{{P}_{x}}^{2}+{{P}_{z}}^{2}}$
步骤 4：计算总压力P与水平方向的夹角θ
总压力P与水平方向的夹角θ由公式 $\tan \theta =\dfrac {{P}_{z}}{{P}_{x}}$ 得：
$\theta =\arctan \dfrac {{P}_{z}}{{P}_{x}}$