设 F(x) 和 f(x) 分别是某随机变量的分布函数和概率密度，则下列说法正确的是().A. F(x) 单调不增B. F(x)= int_(-infty)^x f(t)dtC. 0 leq f(x)leq 1D. int_(-infty)^+infty F(x)dx = 1

考查要点：本题主要考查分布函数$F(x)$与概率密度函数$f(x)$的基本性质及其相互关系。

解题核心思路：

1. 分布函数的单调性：分布函数$F(x)$是概率的累积，随$x$增大而不减，因此单调不减。
2. 积分关系：概率密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数，即$f(x) = F'(x)$，因此$F(x)$可通过$f(x)$积分得到。
3. 概率密度的取值范围：概率密度函数$f(x)$的值可以超过1，只要满足非负性和积分等于1即可。
4. 分布函数的积分性质：分布函数$F(x)$本身是概率的累积，其积分$\int_{-\infty}^{+\infty} F(x)dx$不等于1，而概率密度函数$f(x)$的积分才等于1。

破题关键点：

• 明确区分分布函数与概率密度函数的定义及性质，避免混淆两者的特性。

选项分析

选项A

错误。分布函数$F(x)$表示随机变量小于等于$x$的概率，随着$x$增大，概率不会减少，因此$F(x)$是单调不减的。

选项B

正确。根据定义，概率密度函数$f(x)$是分布函数$F(x)$的导数，即$f(x) = F'(x)$。因此，通过积分可得：
$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt.$

选项C

错误。概率密度函数$f(x)$的取值范围不限于$[0,1]$。例如，在区间$[0, 0.5]$上的均匀分布，其概率密度为$f(x) = 2$，显然大于1，但积分仍满足$\int_{0}^{0.5} 2dx = 1$。

选项D

错误。分布函数$F(x)$的积分$\int_{-\infty}^{+\infty} F(x)dx$不等于1。例如，标准正态分布的分布函数积分结果不为1，而概率密度函数的积分$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$。