求微分方程(e^x+y-e^x)dx+(e^x+y+e^y)dy=0的通解。(用分离变量法)

步骤 1：分离变量
首先，我们观察给定的微分方程$$(e^{x+y}-e^x)dx+(e^{x+y}+e^y)dy=0$$，尝试将其重写为分离变量的形式。为此，我们首先将方程中的项重新组织，以便于分离变量。
步骤 2：重写方程
将方程重写为$${e}^{x}({e}^{y}-1)dx+{e}^{y}({e}^{x}+1)dy=0$$，然后进一步整理为$${e}^{y}({e}^{x}+1)dy=-{e}^{x}({e}^{y}-1)dx$$。
步骤 3：分离变量
将方程进一步整理为$$\dfrac {{e}^{y}}{{e}^{y}-1}dy=-\dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}+1}dx$$，这样就实现了变量的分离。
步骤 4：积分
对分离后的变量分别进行积分，得到$$\int \dfrac {{e}^{y}}{{e}^{y}-1}dy=-\int \dfrac {{e}^{x}}{{e}^{x}+1}dx$$。
步骤 5：计算积分
计算积分，得到$$\ln ({e}^{y}-1)=-\ln ({e}^{x}+1)+\ln C$$。
步骤 6：简化结果
将结果简化为$$\ln ({e}^{y}-1)+\ln ({e}^{x}+1)=\ln C$$，进一步简化为$$({e}^{y}-1)({e}^{x}+1)=C$$。