2.(单选题，7.分) 函数项级数sum_(n=0)^infty(-1)^nx^n=1-x+x^2+(-1)^nx^n+...的收敛域为（）A. x∈(-∞,+∞).B. x∈(-1,1).C. x∈[-1,1).D. x∈[-1,1]

本题考查函数项级数收敛域的求解，解题思路是先利用比值判别法求出级数的收敛半径，再判断收敛区间端点处级数的敛散性，进而确定收敛域。

1. 求收敛半径$R$：
   对于函数项级数$\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n}x^{n}$（本题中$a_{n}=(-1)^{n}$），使用比值判别法，计算极限$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right|$。
   将$a_{n}=(-1)^{n}$，$a_{n + 1}=(-1)^{n + 1}$代入可得：
   $\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^{n + 1}}{(-1)^{n}}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\left|-1\right| = 1$
   根据收敛半径的计算公式$R = \frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right|}$，可得收敛半径$R = \frac{1}{1}=1$。
   所以，该函数项级数的收敛区间为$(-1,1)$。
2. 判断端点处的敛散性：
   • 当$x = -1$时，原级数变为$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}(-1)^{n}=\sum_{n = 0}^{\infty}1$。
     根据级数收敛的必要条件，若级数$\sum_{n = 0}^{\infty}u_{n}$收敛，则$\lim\limits_{n \to \infty}u_{n}=0$。
     而对于$\sum_{n = 0}^{\infty}1$，$\lim\limits_{n \to \infty}1 = 1\neq 0$，所以该级数在$x = -1$处发散。
   • 当$x = 1$时，原级数变为$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}\times1^{n}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}$。
     同样根据级数收敛的必要条件，$\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^{n}$不存在，所以该级数在$x = 1$处发散。

综上，函数项级数$\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$的收敛域为$(-1,1)$。