一根据函数极限的定义证明:-|||-(1) lim _(xarrow infty )dfrac (1+{x)^3}(2{x)^3}=dfrac (1)(2);-|||-(2) lim _(xarrow +infty )dfrac (sin x)(sqrt {x)}=0.

考查要点：本题主要考查利用函数极限的定义进行严格证明的能力，涉及分式函数和三角函数与无界函数的组合极限。
解题核心思路：

1. 分式化简：将表达式变形为易比较的形式，找到与极限值的差；
2. 不等式放缩：通过绝对值不等式将复杂表达式简化，找到变量范围；
3. 定义匹配：根据定义，对任意给定的$\varepsilon>0$，找到对应的$X$，使得当$|x|>X$时，差值小于$\varepsilon$。
   关键点：

• 分式化简时注意分子分母的最高次项；
• 三角函数有界性（$|\sin x| \leq 1$）用于放缩；
• 变量替换（如$x > 1/\varepsilon^2$）确保不等式成立。

第（1）题

化简表达式

原式为$\dfrac{1+x^3}{2x^3}$，与极限值$\dfrac{1}{2}$的差为：
$\left| \dfrac{1+x^3}{2x^3} - \dfrac{1}{2} \right| = \left| \dfrac{1+x^3 - x^3}{2x^3} \right| = \left| \dfrac{1}{2x^3} \right| = \dfrac{1}{2|x|^3}.$

建立不等式

要求$\dfrac{1}{2|x|^3} < \varepsilon$，解得：
$|x|^3 > \dfrac{1}{2\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad |x| > \dfrac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}.$

定义匹配

取$X = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2\varepsilon}}$，则当$|x| > X$时，差值满足要求。

第（2）题

利用三角函数有界性

原式为$\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}$，与极限值$0$的差为：
$\left| \dfrac{\sin x}{\sqrt{x}} - 0 \right| = \left| \dfrac{\sin x}{\sqrt{x}} \right| \leq \dfrac{1}{\sqrt{x}}.$

建立不等式

要求$\dfrac{1}{\sqrt{x}} < \varepsilon$，解得：
$\sqrt{x} > \dfrac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad x > \dfrac{1}{\varepsilon^2}.$

定义匹配

取$X = \dfrac{1}{\varepsilon^2}$，则当$x > X$时，差值满足要求。