题目
求幂级数 sum_(n=1)^infty (-1)^n-1 (x^n)/(n) 的和函数. A. (1)/(1+x) (-1 < x leq 1).B. (x)/(1+x) (-1 < x leq 1).C. ln x (-1 < x leq 1).D. ln(1+x)(-1 < x leq 1).
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$ 的和函数.
- A. $\frac{1}{1+x} (-1 < x \leq 1)$.
- B. $\frac{x}{1+x} (-1 < x \leq 1)$.
- C. $\ln x (-1 < x \leq 1)$.
- D. $\ln(1+x)(-1 < x \leq 1)$.
题目解答
答案
设幂级数和函数为 $S(x)$，则逐项求导得：
\[
S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} x^{n-1} = \frac{1}{1+x} \quad (\text{几何级数求和})
\]
积分得：
\[
S(x) = \int \frac{1}{1+x} \, dx = \ln|1+x| + C
\]
由 $S(0) = 0$ 确定 $C = 0$，故：
\[
S(x) = \ln(1+x) \quad (\text{在收敛域内 $1+x>0$})
\]
收敛域为 $-1 < x \leq 1$（端点分析）。
**答案：D** $\ln(1+x) \quad (-1 < x \leq 1)$。
解析
步骤 1：定义幂级数和函数
设幂级数和函数为 $S(x)$，即 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$。
步骤 2：逐项求导
对 $S(x)$ 逐项求导，得到 $S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^{n-1}$。
步骤 3：求导后的级数和
$S'(x)$ 是一个几何级数，其和为 $\frac{1}{1+x}$，其中 $-1 < x \leq 1$。
步骤 4：积分求原函数
对 $S'(x)$ 积分，得到 $S(x) = \int \frac{1}{1+x} \, dx = \ln|1+x| + C$。
步骤 5：确定积分常数
由 $S(0) = 0$ 确定 $C = 0$，故 $S(x) = \ln(1+x)$。
步骤 6：确定收敛域
幂级数的收敛域为 $-1 < x \leq 1$。
设幂级数和函数为 $S(x)$，即 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$。
步骤 2：逐项求导
对 $S(x)$ 逐项求导，得到 $S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^{n-1}$。
步骤 3：求导后的级数和
$S'(x)$ 是一个几何级数，其和为 $\frac{1}{1+x}$，其中 $-1 < x \leq 1$。
步骤 4：积分求原函数
对 $S'(x)$ 积分，得到 $S(x) = \int \frac{1}{1+x} \, dx = \ln|1+x| + C$。
步骤 5：确定积分常数
由 $S(0) = 0$ 确定 $C = 0$，故 $S(x) = \ln(1+x)$。
步骤 6：确定收敛域
幂级数的收敛域为 $-1 < x \leq 1$。