(2) lim _(xarrow +infty )((dfrac {2)(pi )arctan x)}^x;

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是处理形如$1^\infty$型不定式的常用方法——取对数化简，以及利用等价无穷小替换进行近似展开的能力。

解题核心思路：
当遇到$\lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)}$且$f(x) \to 1$、$g(x) \to +\infty$时，通常通过以下步骤处理：

1. 取自然对数，将原式转化为指数形式；
2. 展开底数为$1 + \frac{a}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$，利用$\ln(1+\varepsilon) \approx \varepsilon$（当$\varepsilon \to 0$）；
3. 计算指数部分的极限，最终结果为$e^{\text{该极限}}$。

破题关键点：

• 正确展开$\arctan x$在$x \to +\infty$时的近似式：$\arctan x \approx \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{x}$；
• 识别并应用等价无穷小替换：$\ln(1 - \varepsilon) \approx -\varepsilon$（当$\varepsilon \to 0$）。

设原式为$y = \left(\dfrac{2}{\pi} \arctan x\right)^x$，则：
$\ln y = x \cdot \ln\left(\dfrac{2}{\pi} \arctan x\right)$

步骤1：展开$\arctan x$的近似式
当$x \to +\infty$时，$\arctan x$的泰勒展开为：
$\arctan x = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{x} + o\left(\dfrac{1}{x}\right)$

步骤2：代入并化简底数
将展开式代入底数：
$\dfrac{2}{\pi} \arctan x \approx \dfrac{2}{\pi} \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{x}\right) = 1 - \dfrac{2}{\pi x}$

步骤3：应用自然对数的近似
对$\ln\left(1 - \dfrac{2}{\pi x}\right)$使用泰勒展开（$\ln(1-\varepsilon) \approx -\varepsilon$）：
$\ln\left(1 - \dfrac{2}{\pi x}\right) \approx -\dfrac{2}{\pi x}$

步骤4：计算$\ln y$的极限
将近似结果代入$\ln y$：
$\ln y \approx x \cdot \left(-\dfrac{2}{\pi x}\right) = -\dfrac{2}{\pi}$

步骤5：求原式的极限
因此，原式的极限为：
$\lim_{x \to +\infty} y = e^{-\dfrac{2}{\pi}}$