一球面过原点及A. (4,0,0),B. (1,3,0)和C. (0,0,-4)三点,求球面的方程及球心的坐标和半径。

步骤 1：确定球面方程的一般形式
球面方程的一般形式为：\(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\)，其中\(D, E, F, G\)为常数。

步骤 2：利用给定的点求解常数
由于球面过原点(0,0,0)，代入球面方程得到\(G = 0\)。
将点A(4,0,0)代入球面方程得到\(16 + 4D = 0\)，解得\(D = -4\)。
将点B(1,3,0)代入球面方程得到\(1 + 9 + D + 3E = 0\)，代入\(D = -4\)得到\(E = -2\)。
将点C(0,0,-4)代入球面方程得到\(16 - 4F = 0\)，解得\(F = 4\)。

步骤 3：确定球面方程
将\(D, E, F, G\)的值代入球面方程的一般形式，得到球面方程为\(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 4z = 0\)。

步骤 4：化简球面方程
将球面方程化简为标准形式，即完成配方过程。\(x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 + 4z = 0\)，配方得到\((x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9\)。

步骤 5：确定球心坐标和半径
从标准形式\((x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 9\)中，可以直接读出球心坐标为(2,1,-2)，半径为3。